БОЛЬШИЙ ОТРЕЗОК ГИПОТЕНУЗЫ. 'КАПРИЗ' ПАГАНИНИ.

ABC - прямоугольный, K - точка касания гипотенузы, S=210, r=6. Найти больший отрезок KB гипотенузы.

[chan_nel]

Решил так же, как и вы. Провел радиусы, МВ принял за Х, а АК - за У. Еще провел А(центр окр) и В(центр окр) Если проведем еще точки от вершин треугольника АВС к центру окр то получим пары равных прямоугольных треугольников, равных по катету - радиусу и общей гипотенузе. Тогда КВ = Х. А четырехугольник СМ(центр окр)и еще какая то точка пересечения АС с радиусом (пусть будет D), квадрат (прямые углы равны, потому что радиусы перпендикулярны касательным, а смежные стороны равны). Выходит, что АС = 6 + У, СВ = 6 + Х. Теперь про те прямоугольные треугольники. Площадь фигуры из треугольников с катетами 6 и х = 6х (6х/2*2), аналогично с другими, со сторонами 6 и У, площадь такой фигуры будет 6У (6У/2*2), а площадь квадрата 36. 6X+6Y+36=210, 6(X+Y)=174, X+Y=29.
Так как Х больше У, то Х представим, как 29 - У. Получили прямоугольный треугольник АВС с катетами 6 + Х и 35 - У. Через площадь считаем У, получилось или 15 или 14, но Х больше У, значит, большее число 15 это Х, а 14 это Y.

[alexeychernyshev]

Д/З. Используя обозначения на Вашем чертеже, и применяя теорему Пифагора к тр-ку ABC, получим: (x+y)^2 = (r+y)^2 + (r+x)^2 Отсюда находим, что xy=r(r+x+y). Далее замечаем, что площадь этого прямоугольного тр-ка равна сумме площадей квадратика со стороной r и двух попарно равных тр-ков (AFO=AKO и OKB=OMB), где О - центр вписанной окружности, т.е. S=r^2 + xr + yr = r(r+x+y), но последнее равно xy, как было найдено ранее. Следовательно, площадь тр-ка ABC равна x*y, т.е. S=xy. Кстати, эту формулу легко запомнить, потому что площадь такого тр-ка выглядит очень Sexy (S=xy)
И интересное наблюдение, если приравнять площади прям-го тр-ка S = h(x+y)/2 = xy, то получается, что его высота h равна среднему гармоническому между x и y: h=2xy/(x+y)

[AlexeyEvpalov]

Из S=pr, получим p=35=x+y+6. По секретной формуле, второе уравнение xy=210. Решив систему получим x1=15, x2=14. По рисунку выбираем большие X1=15.

[pojuellavid]

Оказалась несложной, даже пифагора не понадобилась. Достаточно, что площадь равна как произведению радиуса на полупериметр, так и полупроизведению катетов. Единственный соблазн -- решать через нахождение катета. Но аффтар прямтаки толкает решать относительно куска гипотенузы. Лучше было бы загадать не его, а катет.
Кстати, получился второй по списку (после египетского) "почти равнобедренный" прямный треугольник.

[Mathematician.]

Решение:
S=rp ----> 210=6p ----> p=35
r=p-c ----> 6= 35-c ---> c=29
S=х(29-х)=210
-x²+29x-210=0
х²-29х+210=0
х=15
Х = 14
Если в условии не указано, какой отрезок гипотенузы длиннее, то принимается любой ответ.

[Alexander--]

Из формулы S = pr находим p = S/r = 210/6 = 35
Далее p = x + y + r, где x и y - отрезки касательных из B и А. Отсюда x + y = p - r = 35 - 6 = 29. Это гипотенуза.
Из четырёх треугольников складываем квадрат, построенный на сумме катетов, внутри которого образовался квадрат поменьше, построенный на гипотенузе. В этот квадрат помещаем ещё 4 таких треугольника, остаётся ещё квадрат, построенный на разности катетов.
Значит, (a + b)² = c² + 4S, (a - b)² = 4 - S. Отсюда:
(a + b)² = 29² + 4•210 = 1681, a + b = 41
(a - b)² = 29² - 4•210 = 1, a + b = 1
Далее a = (41 + 1)/2 = 21, b = (41 - 1)/2 = 20.
Если x - это больший из отрезков, то x = a - r = 21 - 6 = 15.

[B.Anthony]

А что, получив у=29-х крайне сложно написать, что половина произведения катетов (6+29-х) и (6+х) равны 210?, откуда сразу находится "х"..

[Olga-fvjy]

1) x+y=29, xy=210; x=15, y=14.
2) S=xy

[tsaiis]

Пусть АК=у. S=(6+x)*(6+y)*1/2=210; S=pr=1/2*(2y+2x+12)*6=210. x=15

[alexnikola]

я могу предложить немного громоздко... АК=у... тогда площадь (6+x)(6+y)=420... а по пифу (6+x)^2 + (6+y)^2=(x+y)^2... перемножаем, возводим в квадрат, получаем 6(x+y)+xy=384 и 72+12(x+y)=2xy... а тут так и просится замена, сводящая к совсем несложной даже линейной системе ур-й... xy=u x+y=v... имеем u-6v=36 и u+6v=384... складываем ур-я и находим u=210 v=29... то есть xy=210 x+y=29... корни 15 и 14... выбираем больший

[ВерцинГеториг-чь]

Без секретных формул : ВС=а ; АС=в, АВ=с, а*2+в*2=с*2, ав/2=210, ав=420(1), S=рr, р=(а+в+с)/2 - полупериметр, а+в+с=2S/r=2x210/6=70, с=70-(а+в) . Из ф-лы (а+в)*2=а*2+в*2+2ав, подставляем ранее полученные результаты (а+в)*2=((70-(а+в))*2+2х420, а+в=п, п*2=(70-п)*2+840, п*2=4900-140п+п*2+840, 14п=574, п=а+в=41, подставляя в=41-а в уравнение (1), получаем уравнение а*2-41а+420, решив - а = 21 (а больше в) . Отрезок МВ=ВК=Х, Х=ВС-СМ=а-r=21-6=15 .

[adept]

Системa: 2S/r = a + b + c = 70, a + b - c = 2r = 12. a + b = 41, c = 29. Можно сразу найти пифагорову тройку 20, 21, 29, а можно решить поочерёдно две простенькие системы:
1. a² + b² = 841, a + b = 41. ab = 420.
2. a + b = 41, ab = 420. a =21, b = 20. x = a - r = 15.
ДЗ: записав mn как (a - r)(b - r) и подставив r = (a + b - c)/2, в результате нудных преобразований получим ab/2. Настойчивые могут проверить.
Возможно, кто-то предложит покороче.

[ЛюдмилаКолосова-вр]

Площадь лучше выразить как полупроизведению катетов через (х+6)(у+6), а полупериметр х+у +6=35, выразить у, решить квадратное ур-е получим х=15.

[АнатолийВикторов-хл]

ВМ=х; АК=у;
S=p*r; p=S/r; p=210/6=35; p=35.
M∈BC; F∈AC; К∈АВ (точки касания).
CF=CM=r=6.
AF=AK=y; BM=BK=x;
AC=y+6; BC=x+6; AB=x+y;
P=AC+BC+AB; p=P/2; P=y+6+x+6+x+y=2x+2y+12; p=x+y+6;
x+y+6=35; x+y=29; y=29-x.
AB²=BC²+AC²; 29²=(x+6)²+(y+6)²; 29²=(x+6)²+(35-x)²;
841=x²+12x+36+x²-70x+1225; 2x²-58x+420=0;
x²-29x+210=0; x=(29+_√(841-840))/2; x=(29+_1)/2; x=15;
BK=BM=15; BK=15.
Ответ: ВК=15.

[ЛюдмилаКолосова-вр]

p=х+у+6=35, у=29-х, подставим в 1-е ур-ние, хквадрат-29х+210=0, D=1, х=15 или 14

[pojuellavid]

Решается в два простых приема.
По теореме Казакова если периметр прямного треугольника численно равен равен произведению катетов, то он египетский
По теореме Агрипида вписанная в египетский треугольник окружность делит гипотенузу точкой касания в отношении 2:3
Шутка, пойду решать

[КонстантинВинников-рб]

Для нахождения любого отрезка гипотенузы, нужно найти стороны треугольника. Известно, что ab=420. А гипотенуза равна сумме катетов минус диаметр вписанной окружности, то есть с=(a+b)-12. Исходя из этих данных, по теореме Пифагора, находим сумму катетов, которая равна 41. Значит катеты равны 21 и 20. Поскольку нужно найти больший отрезок гипотенузы, нужно из 21 вычесть 6, получаем 15! Вот вам и Паганини, которого, не смотря на уродливый внешний вид, без ума любили все женщины из-за его длинных и ловких пальцев, и не только!

[КонстантинВинников-рб]

Все формулы происходят от П, но не Паганини, а Пифагора! Как сказала бы нынешняя молодёжь, Пифагор рулит!

[КонстантинВинников-рб]

Ютуб банит за геометрию? Я думал только за политику!

[ЛюдмилаКолосова-вр]

p=х+у+6=35, у=29-х, подставим в 1-е ур-ние, хквадрат-29х+210=0, D=1, х=15 или 14