ШАД-2020: Разбор письменного экзамена Андреем Павликовым / Математик МГУ

На носу вступительные в ШАД 2020, и мы попросили "Математика МГУ" Андрея Павликова разобрать один из вариантов прошлых лет. Он взял экзамен от 26 мая 2018 года и прокопал его вдоль и поперек. Смотрите, что получилось.

Лучший способ сказать "спасибо" - подписаться на каналы @hitman_math и @Fless

#шад #сейчаскокнет

ВСЯКИЕ МАТЕРИАЛЫ

ТАЙМ-ТЕГИ
00:00:00 Задача 1
00:05:11 Задача 2
00:12:49 Задача 3
00:19:15 Задача 4
00:26:19 Задача 5
00:44:53 Задача 6
00:57:55 Задача 7
01:02:51 Задача 8

[Fless]

ТАЙМ-ТЕГИ
00:00:00 Задача 1
00:05:11 Задача 2
00:12:49 Задача 3
00:19:15 Задача 4
00:26:19 Задача 5
00:44:53 Задача 6
00:57:55 Задача 7
01:02:51 Задача 8
ВСЯКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Лучший способ сказать "спасибо" - подписаться на каналы "Математик МГУ" и Флесс ;)

[ЖонХолкинмен]

Охуенно, вы либо досрок ОГЭ разбираете, либо кососимметричные ортагональные матрицы

[arsk]

Просто топ, спасибо за понятный и мощный материал!! Лайк

[serhiylatyuk]

Просто супер, делайте разборы ещё вариантов, зачем ограничиваться одним!!)))

[АндрейПикурев]

Как раз скоро экзамен в ШАД) Спасибо за разбор!

[Carl-Gauss]

57:41 Формально у нас могут члены последовательности больше 1 быть, но это легко фиксится, если дробь со степенью двойки на 1 минус дельту домножить.

[N_kon]

Ну вроде учишь математику, а все равно - чем больше ты её учишь, тем больше понимаешь, что ты её никогда не выучишь. Я половины слов не понял

[latenter]

Небольшая ошибка в 4-ой задаче.
Если S - это просто сумма количеств разных цифр в массиве, то это есть просто размер самого массива. Полагаю, подразумевалась сумма произведений: количество конкретной цифры на саму эту цифру. То есть S = 0*a0 + 1*a1+ ... + 9*a9.

[mikhailnovikov]

Большое спасибо!
Как же хочется ещё таких видео.

[AleXXL]

В задаче 6 немного косячно доказал про принадлежность предела диапазону (0, 1). т.к. для дельта >1/2 первые члены больше 1. надо было брать a_k =delta+ epsilon^k

[ИванИванов-чтя]

Отличный контент, спасибо за разбор данных задач.

[aleksandrveselev]

в 6й задаче, по условию, a_n \in (0, 1). Это условие не выполняется, когда подбирается последовательность для предела \delta > 0, т.к. a_0 = \delta + 1/1 > 1(ну, если считаем, что n > 0, то не будет выполняться для \delta > 1/2)

[Penchekrak]

Можно было в седьмой задаче рассмотреть действие оператора Ф на базис из матричных единиц в пространстве матриц. Так получается, что максимальное число различных собственных значений ceil(n/2) + 1.
Всем поступающих в ШАД удачи!)

[mansuronable]

7 задача. B из пр-ва матриц n x n, можем выбрать матрицу с нулями на чётных строках
а) Матрицы A = 2E и B с нулями на чётных строках. B - собственная матрица, значения 2.
б) Матрица A диагональная с нулями на местах a_ii, где i четное. Действие на базис матричных единиц. С.З. 1, 0 и различные числа на диагоналях. Максимальное кол-во [n/2] + 2, n > 1

[Aleksandrsvideo]

На 6-ой задаче подстава! Два раза пересматривал момент когда ставим модуль в неравенстве и думал как же так.. Потом подумал, что я чего-то не понимаю и стал смотреть дальше, а там все просто оказывается х)

[НовокузнецкиеСомелье]

Го импровизированное решение шада от савватана???

[emmagoldstein]

Задача 7: во первых, можно найти матрицу А размера 2x2 с собственным значением оператора Ф равным 2. Можно взять матрицу B с нулевой второй строкой, тогда матрица A, у которой во первой строке стоят двойки, а во второй произвольные числа подходит. Более того, в этом случае у оператора Ф есть собственное значение 1(для матрицы B с нулевой первой строкой), то есть ответ во втором пункте неверен.
во вторых, введем матрицу C у которой нечетные строки совпадают со строками матрицы A, а четные строки совпадают со строками единичной матрицы размера nxn. Тогда действие оператора Ф на матрицу B можно записать как CB. Матрица B будет собственной для оператора Ф тогда и только тогда, когда столбцы этой матрицы будут собственными векторами матрицы C отвечающими одному и тому же собственному значению. Поэтому число различных собственных значений оператора Ф равно числу собственных значений матрицы С. Достаточно легко показать, что число различных собственных значений такой матрицы при n=2m не превышает m+1(ну по сути это матрица которая на подпространстве "половинной" размерности действует как тождественный оператор), а при n=2m+1 не превышает m+2, причем легко можно найти матрицы C с ровно таким числом собственных значений(диагональные). То есть ответ во втором пункте m+1 при n=2m и m+2 при n=2m+1

[blar_n_one]

16:16 Когда разочаровался в своих математических способностях.

[danil_shishkin]

Захотелось поделиться своим решением последней задачи, оно будет "от противного". По условию из каждого города выходит не менее 91 авиалинии, значит всего рёбер в исходном графе не менее 91*100/2=4550. Предположим, что у нас нет полного графа на 11 вершинах и посмотрим, какое максимальное количество рёбер мы можем получить. Сначала образуем 10 независимых полных графов на 10 вершинах. Это будет уже 45*10=450 рёбер. Любая точка уже соединена с 9-ю другими, принадлежащими этому же полному графу, а значит её можно соединять только с точками из других графов. Но каждая из 10 точек этих 10 полных графов может быть соединена не более чем с 9-ю точками оставшихся 9-ти графов. (если какая-то вершина будет соединена с 10-ю вершинами полного графа, то мы получим полный граф на 11 вершинах, что противоречит предположению). Осталось не забыть, что каждое ребро мы можем посчитать по два раза и получим: 10*10*9*9/2 + 450 = 4500. В этот момент мы и пришли к противоречию

[mefesto]

Топ контент! Хотелось бы еще такое на канале