Теория кос | Причёсанная нормальная форма

Часть 10. Мы сведём изучение всех кос к изучению крашеных и решим для них задачу распознавания.

00:00 Группа крашеных кос
02:32 Причёсанный вид
04:43 Теорема Маркова-Ивановского-Артина
06:12 Доказательство существования и единственности
15:57 Разложение крашеных кос в полупрямое произведение
21:32 Причёсывающий алгоритм
27:39 Анонс второго доказательства теоремы Артина
30:59 Образующие Маркова
41:17 Причёсанная нормальная форма
47:00 Анонс геометрических интерпретаций
48:29 Вариации причёсанной нормальной формы

Теория кос является одним из интереснейших разделов маломерной топологии. Современные исследования кос затрагивают различные аспекты теории групп, комбинаторики, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в алгебраическую геометрию, теорию узлов, теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую комбинаторику, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, зашифровать сообщение, описать произвольный узел или отображение между многомерными сферами. Мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос.

Программа
1. Группа кос и её задание образующими и соотношениями, подходы к решению задачи распознавания кос.
2. Конфигурационные пространства: последовательность Фаделла–Нойвирта, группа кос поверхности.
3. Разложение Маркова–Ивановского–Артина группы крашеных кос в полупрямое произведение свободных групп, причёсывающий алгоритм.
4. Положительность и нормальная форма Гарсайда, жадный алгоритм, введение в теорию Гарсайда.
5. Порядок Деорнуа, алгоритм редукции ручек, введение в теорию упорядоченных групп.
6. Линейные представления группы кос: представления Бурау и Лоуренс–Краммера–Бигелоу, их геометрическая интерпретация.
7. Действие группы кос на свободной группе: координаты Артина и связь с порядком Деорнуа.
8. Группы классов отображений поверхностей: действие группы кос на кривых в проколотом диске, криволинейные диаграммы.
9. Действие группы кос на ламинациях и триангуляциях: координаты Дынникова.
10. Действие группы кос на железнодорожных путях: псевдо-аносовские косы и классификация Нильсена–Тёрстона.
11. Элементы гиперболической геометрии: действия группы кос на прямой и окружности, порядки тёрстоновского типа.
12. (По желанию слушателей) группа кос из трёх нитей, инварианты конечного типа, статистические вопросы, косы и узлы.

Пререквизиты