Die Multiplikationsregel für Erwartungswerte

Sind X und Y stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit existierenden Erwartungswerten, so existiert auch der Erwartungswert des Produktes XY,
und es gilt E(XY) = E(X) E(Y). In diesem Video wurd diese Multiplikationsregel zunächst unter Weglassen jeglicher technischer Feinheiten für Zufallsvariablen auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum bewiesen. Anschließend wird gezeigt, wie das Resultat in seiner allgemeinsten Form mithilfe von Sätzen der Maß- und Integrationstheorie erhalten werden kann.

DOI: 10.5445/IR/1000132686

[ucojq]

Super erklärt! Aber warum verschärft man den Satz nicht gleich zu: Cov(X, Y) = 0 genau dann, wenn E[XY] = E[X]E[Y] ?
Das folgt ja sofort aus der Darstellung Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y].
Wenn man schon weiß, dass Unabhängigkeit Unkorreliertheit impliziert, dann hat man auch gleich dieses Resultat.