#205. Формула Эйлера для плоских графов: В-Р+Г=2 | Платоновы тела (feat. Борис Трушин)

Это видео о теории графов, о правильных многогранниках и метких античных идеях о том, что природа любит симметрию!

0:00 — Исторические сведения
1:32 — ГЛАВНАЯ задача
2:02 — Борис Трушин доказывает формулу Эйлера
8:51 — Отсеиваем невозможные многогранники
10:12 — Определяем все характеристики платоновых тел!
15:33 — Три загадки!

В этом ролике по следам великих умов прошлого доказываем формулу Эйлера для связных плоских графов, объясняем, почему она применима для выпуклых многогранников. Затем, опираясь на связь вершин, ребер и граней многогранников, доказываем существование ровно пяти правильных многогранников в трехмерном пространстве. При таком подходе и внимательном изучении комбинаторных свойств примеры октаэдра, додекаэдра и икосаэдра не кажутся спущенными с небес: дуализм платоновых тел делает свое дело! Наслаждайтесь!

БОЛЬШЕ ИНТЕРЕСНОЙ МАТЕМАТИКИ

#Математика #Образование #Научпоп

[WildMathing]

С наступающим Новым годом, друзья! Мы постарались сделать ролик, который стал бы отличным подарком для всех любителей математики — для всех вас. Если такой презент пришелся по душе, то лучшим подарком для нас будет клик по «большому пальцу вверх» и обратная связь в комментариях. Задавайте свои вопросы — с удовольствием отвечу; попробуйте и сами ответить на вопросы из видео. 2020 год не будет простым, вы это знаете лучше моего, но пусть же он состоит из одних лишь открытий и счастья! Обнимаю каждого! Ура!

[ДмитрийРыблов-уя]

самый масштабный аниме кроссовер уходящего года

[ProEvolution]

За Трушина и двор - решаю интеграл в упор!

[АндрейАлёшин-ыы]

Даааа, не думал, что Боря может объяснить такую сложную вещь за 6 минут, да ещё и так, чтобы это было понятно почти каждому. Однозначно лайк

[rstkrv]

14:22
Четвертушкаэдр, Осьмушка-полушкаэдр, Осьмушкаэдр, Осьмушка+четвертушкаэдр, Пудовичок+четвертушкаэдр, так считали наши геометрические предки!

[jldqujv]

Я что сплю?
Лучший подарок на новый год!!

[MariaKudriavtseva-nk]

В первой задаче ответ 7: количество вершин может быть 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Один угол правильного n-угольника равен (180n - 360) : n. = 180 - (360/n).
180 - целое число, которое делится на 10, поэтому чтобы все выражение было целым числом, делящимся на 10, должно выполняться 2 условия:
1) n - делитель числа 360;
2) n не делится на 5 и на 8
(Только в таком случае (360/n) будет делится на 10)
Итак, 360 = 2*2*2*3*3*5
Чтобы конструировать подходящие числа мы должны выбирать простые из набора 2*2*3*3
Всего таких чисел 9: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
1 и 2 вычеркиваем, потому что они не подходят по условию.

[alienth]

А у меня стоят уведомления и на вас, и на Трушина. Поэтому сначала я подумала, что это баг Ютуба))
(Видео Трушина на канале Wild Mathing? Что???)

[mathand]

Самый лучший новогодний подарок, который только можно было ожидать. Спасибо огромное вам и Борису за такой крутой и интересный ролик!

[pavelpavel]

Еееее, это свершилось! Ураааа!!!! Всех с Новым Годом!

[Galaxy-]

Аха, не увидел подпись и думал, что это видео Трушина, а вы в нем гость.

[maximmuravev]

Оххх, как же я люблю правильные многогранники 😄❤❤
Вот они слева направо: Тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр
Люблю вас❤❤❤

[danilpankov]

Коллаб года. Мстители покуривают в сторонке.

[ГамболУоттерсон-яп]

С наступающим вас новым годом! За последние полгода я понял, что вы - один из немногих каналов по математике, которые не то что можно смотреть без скуки, НУЖНО СМОТРЕТЬ! Я желаю вам счастья, здоровья, успехов в личной жизни и экспоненциального роста количества подписчиков!

[zcwfvfw]

Ура, Мама, я в ютубе) Самый долгожданный коллаб!

[guidehack]

Вайлд, спасибо вам с Борисом за крутой подарок на нг. Уж чего -чего, а вот такого фита я точно не ожидал)

[kyofuso]

вот это коллаб или кроссовер уже не знаю что сказать
просто слов нет....
АААААА два лучших ютуб математиков вместе. кайф

[stranger]

Для того, чтобы у нас получился многогранник, необходимо, чтобы сумма углов между ребрами, сходящимся в одной вершине, было меньше 360 градусов, чтобы наши куски граней, образованные этими ребрами как бы вырвались из плоскости прямиком в 3-мерное пространство) И я так полагаю, что если многогранники это замкнутая плоскость, то они должны удовлетворять еще условию В-Р+Г=2. 

2) Проверим для начала треугольник, как самый простой вид грани, правильный тр-ик имеет углы по 60 градусов. Понятно, что в одной вершине не может сходиться больше шести таких треугольных граней. 6 таких "лоскутов" образуют плоскость, куда седьмой просто напросто не влезет, так как сумма углов при вершине уже 360 градусов. Более того, 6 мы тоже не можем взять, так как нам необходимо построить объемную фигуру, а для этого необходимо еще оставить "запас", чтобы нашим граням было куда "свернуться". Поэтому максимум мы можем взять 5 граней. Почему тогда пять это максимальное количество? Потому, что у следующего правильного мн-ка - квадрата, углы уже по 90 градусов и соответственно максимум мы можем положить только 3 таких грани у одной вершины, так как 4 уже образуют обычную плоскость (90*4=360). С пятиугольниками почти то же самое, там 3 грани образуют в сумме угол 108*3=324 градуса у одной вершины и очевидно, что четвертый тут лишний, так как для полного круга не хватает всего 36 градусов, тогда как угол между ребрами правильного пятиугольника=108 градусам, он слишком тупой для этого))) Три шестиугольника, сцепленные друг с другом одной вершиной уже изначально составляют плоскость, так как 6*120=360. А три n-угольника, где n>6, мы не сможем совместить у одной вершины по понятным причинам (просто сумма их углов при одной вершине будет больше 360). Таким образом, "пятисторонник" это максимум, которого мы можем достичь
1) Насчет ребер, думаю тут можно использовать характеристическое уравнение и исходя из того, что максимум граней это 5, посчитать сколько ребер. Составим граф, где одна точка в центре и еще 6 вокруг нее, соединим так, чтобы получить 5 треугольников, то есть пять граней плюс одна внешняя грань. 7-Р+6=2 => Р=11, но так как нам нужны только выходящие из одной вершины, то выкидываем 5 ребер, которые образовывали грани и еще убираем одну, так как при формировании объемного тела мы "склеим" одно ребро с другим, и в итоге остается 5 ребер

Конечно, это нельзя назвать строгим доказательством, я просто своими словами и аналогиями описал весь этот процесс. Но все же мне очень интересно увидеть настоящее доказательство, поэтому с радостью приму ссылку на какую-нибудь статью!
Спасибо огромное за такой предновогодний подарок, это однозначно достойный коллаб, которого мы все так ждали! С наступающими праздниками!

[SergeiP.]

Прикольный коллаб с Трушиным, побольше бы в будущем таких! Успехов и счастья в новом году!)

[andreygoldfine]

Придется посмотреть еще раз, потому что половину первого просмотра не мог отойти крутости этого коллаба)