Теорема Дональдсона

Показать описание

Докладчик: Аршак Айвазьян. Занятие 91.

00:00 Локально тривиальные расслоения
09:55 Изобретение связности
27:55 Определение параллельного переноса
41:05 Определение связности
01:04:15 Главные расслоения
01:22:34 Связность в главных расслоениях
01:29:35 Характеристические классы векторных расслоений
01:49:10 Дифференциальные формы и звёздочка Ходжа
02:07:30 Кривизна связности
02:24:05 Поля Янга-Миллса
03:04:30 Автодуальные связности
03:20:30 Схема доказательства теоремы Дональдсона
03:35:30 Теорема Фридмана
03:46:50 Теорема Дональдсона

Один из основных инвариантов четырехмерного компактного ориентированного односвязного многообразия — унимодулярная симметричная форма пересечений H²(X) x H²(X) → H⁴(X) = Z (простые гомотопические рассуждения показывают, что H²(X) = Z^n для некоторого n). В действительности, как гласит теорема Фридмана (1982), топологические типы таких многообразий находятся в естественной биекции с унимодулярными симметричными формами (снабжёнными, в случае когда они нечетны, ещё 1 битом информации: инвариантом Кирби — Зибенмана). В этом контексте теорема Дональдсона (1983) накладывает жесткое ограничение на то, какие топологические многообразия могут быть снабжены гладкой структурой: если форма пересечений гладкого многообразия знакоопределена, то она диагональна!

Доказательство Дональдсона сочетает глобальный анализ, геометрию и теорию гомотопий, вдохновляясь идеями из современной ему математической физики — калибровочной теории. Фактически объект, вокруг которого вращается всё доказательство, — пространство модулей инстантонов. Это пространство связностей в главном расслоении, удовлетворяющих уравнениям Янга — Миллса.

В докладе мы обсудим геометрически наиболее интересные части доказательства и дадим его общий обзор (полный разбор доказательства потребовал бы курса лекций). Основные пререквизиты: стандартные курсы гладкой геометрии и теории гомологий. Понятия главных расслоений и связностей будут напомнены.