Задача Льюиса Кэрролла

Нам сообщили, что в банке лежат чёрный и белый шарики. Если мы ничего больше о них не знаем, вероятность вынуть белый шарик равна 1/2. А тепеь мы кладём в банку белый шарик, вытаскиваем шарик наугад, и он оказывается белым. Какова теперь вероятность того, что оставшийся шарик тоже белый?

Благодарим вас за интерес к нашей работе!

Новосибирский Государственный Университет

[Leopauld_II]

изменение вероятности с 1/2 до 2/3 связано с тем что выросла вероятность, что исходный шар в урне был белый.

Если проделать операцию 10 раз. Класть в урну белый шар, а потом доставать из урны случайный (и каждый раз получать белый). То вероятность, что первый шар тоже был белый будет возрастать с каждой итерацией. А если после этого начать проделывать с этой же урной ту же операцию, но уже с чёрным шаром, то вероятность будет смещаться обратно...

[Mr.Not_Sure]

Вероятность меняется потому, что реализация описанного сценария несимметричным образом сужает пространство возможностей. Как в парадоксе Монти-Холла. Событие «не глядя, вынули белый шар» даёт дополнительную информацию.

Однако, строго говоря, мы не может дать числовой ответ об апостериорной вероятности, без допущений об априорной вероятности. Допущение о симметричности необоснованно и подобно анекдоту о «встречу ли сегодня динозавра? 50-на-50». Мы лишь можем сказать, что апостериорная вероятность равна f(p)=2p/(1+p), где p — априорная вероятность.

Реализация данного конкретного сценария указывает на большее правдоподобие того, что изначально в урне был белый шар. Но не позволяет делать утверждения об априорной вероятности.

Другое дело, если задачу модифицировать: допустим, в урне был чёрный или белый шар, потом у нас на глазах в урну положили белый шар, затем вслепую вынули белый шар, положили его обратно, вслепую вынули опять белый, и так 100 раз. Вероятность такого сценария при изначально чёрном шаре — 1/2¹⁰⁰, что сильно меньше пресловутого уровня 0.05. Поэтому в модифицированном эксперименте мы можем делать некоторые гипотезы относительно априорной вероятности.
В научной практике считаются правдоподобными гипотезы, при истинности которых, экспериментально наблюдаемые результаты происходили бы не реже, чем в 5% экспериментов.
Поэтому в модифицированной задаче правдоподобно предположить, что изначально белый шар бывает чаще, чем в 5% случаев. Тогда в конце серии из 100 «белых» выборок, в урне останется белый шар с вероятностью больше, чем f¹⁰⁰(0.05) = 1 – 1e-29.
В модифицированной задаче нам пришлось взять произвольно выбранный, хотя и общепринятый уровень в 0.05. А в исходной задаче и это не поможет, так как функция правдоподобия не опускается ниже 0.5.

[canniballissimo]

Чем-то напоминает задачу про три двери. Тоже вероятности 1/2 и 2/3

[ucheny]

Может я ересь тут конечно напишу, но вот такие у меня размышления по этому поводу:

В задаче определено лишь то, что 1) шары обязательно существуют и у них есть одно единственное свойство - окрашиваться в два цвета 2) Один шар находится в урне, в суперпозиции этих состояний, второй в руках и он белый. Вероятность распределения цветов шаров "во вселенной эксперимента" нам не задана, и определяется дискретно как число возможных состояний на множестве (0;1/2] относительно общего количества шаров в мире.
то есть:
если всего существует два шара, то среди них один белый второй чёрный, можно ссказать что они между собой всегда в состоянии квантовой запутанности, то есть когда мы видим один мы точно знаем какого цвета второй.
если всего существует три шара, то среди них обязательно будет 1 чёрный, 1 белый, и один вероятность окрашивания которого может принимать единственное значение 1/3
если четёре, то вероятности будут три дискретных значения 1/4 1/3 2/4
если X, то дискретных значений вероятности будет X-1

В таком случае задача представляет из себя стек кубитов с которыми нам предлагается провести с некую операцию, а затем прочитать его значение. Ответ будет напрямую зависеть от количества существующих шаров и(или?) от заданного значения вероятности.
например, если вероятность существования белых шаров "во вселенной эксперимента" будет 90% а чёрных 10% то ответ уже не будет далеко не 2/3

[romanapanovich]

и это вы ещё не учли вероятность того, что на дне чашки была разлита белая краска, которая на поверхности шара моментально засыхает)

[AlexSav]

В начальной постановке задачи нет ничего про равновероятность белых и черных шаров.
То есть в общем случае надо считать что изначально вероятность достать белый из урны была 0 < p <1 (так как сказано, что черные и белые существуют).

[nikolaymatveychuk]

изменилось то, что мы получили дополнительную информацию вытащив белый шар. Если бы белый шар мы бы забирали оттуда не наугад, а это делал бы кто-то, кто видит какой шар он достаёт, и он намеренно достал бы белый шар, тогда и правда ничего бы не изменилось и вероятность осталась бы 1/2.

[alyaskacity]

У вас на 2:55 неточность на картинке: после выбора белого шара поле вероятностей (event space) финального раунда будет {Ч, Б2, Б3}.
(если был выбран Б1 -> {Ч}, если Б2 -> {Б3}, Б3 -> {Б2}).

Тогда вытащить повторно белый шар: Б2/|{Ч, Б2, Б3}| + Б3/|{Ч, Б2, Б3}| = 2/3

Изменение вероятности с 1/2 до 2/3 связано с тем что матожидание (expected value) изменилось в пользу белых посколько был добавлен +1 белый шар в изначальную распределенность.

[alex_freeman]

Когда в урне лежал один шар, то мы имели два возможных варианта события(вытащить черный шар -1 вариант события или вытащить белый шар - 2 вариант события), которые равновероятно могут случится, соответственно выбирая один из двух вариантов мы получаем для каждого варианта вероятность 1/2. Когда же мы добавляем один белый шар, у нас в итоге теперь не два варианта а три варианта событий: вытащить черный шар - 1 вариант события, вытащить белый шар (если он не был черным) - 2 вариант события, вытащить белый шар который мы положили-3 вариант события. Соответственно для каждого варианта мы имеем вероятность 1/3, из этих вариантов два варианта - мы вытаскиваем не черный шар а значит общая вероятность этих событий когда мы вытаскиваем не черный шар равна 1 - 1/3=2/3

[Громницький-еш]

Измениться ли ответ если решать задачку с немного другим условием:
Шарик может быть белым или чёрным. В урне лежат два шара. По крайней мере один из них белый. При первом вынимании был вытянут белый шар. Какова вероятность того, что оставшийся в урне шар окажется белым?
Как по мне - 1/2: всего два состояние системы (два белых шара и белый с чёрным), так как, один белый шар уже вытянут, то цвет оставшегося зависит исключительно от того, каково было состояние системы изначально (если бб то белый, еси бч - чёрный)
Неужели информация о том, какой шар был первым, а какой вторым - влияет на вероятность?

[БахадырЖубатов-хд]

Очень интересный выпуск!
Уже сразу решил задачу я кажется улучшил свои знания по математике после ваших видео

[АртемВолков-уф]

В условиях задачи ясно сказано что "... кладут ЕЩЁ ОДИН белый шар..." дело закрыто, задача решена 😂

[TheTurin]

Само по себе определение "вероятность 2/3 что остался белы" не корректно в принципе!!!
Это же не означает что оставшийся шар на две трети белый, а на одну треть черный и потому он более белый чем черный!!!!
Вероятность 2/3 всего лишь говорит о том, что, - из ста раз проведения этого эксперимента вы называя белый - 66 раз угадаете какой остался шар, а вот 34 раза не угадаете, но при этом называя что остался черный - вы 34 раза из 100 угадаете!!!!

[pavelbelov]

Меня поразило другое: повторим опыт много раз, добавляя белый и вытаскивая случайный шар. В случае, если достали белый, вероятность того, что в урне белый 2/3, если же достали черный, вероятность, что второй - белый 100%. Вероятность, что в урне белый шар так или иначе повышается, что контр интуитивно, но объяснимо)

[MindDebugger]

Правильный ответ: 100%.
Потому что "в урну кладут ещё один белый шар". "Ещё один белый", да.

[ssv]

Интересно обобщить: изначально в урне лежит х белых шаров и у черных. {Либо белый шар с вероятностью х}. Добавили k+m (б+ч). Вытащили p+q. Какова вероятность теперь?

[ИмяФамилия-эфв]

Видео о том, что в первом предложении условия нужно было указать, что "в урне находится с равной вероятностью либо белый либо черный шар".

[АнтонБабаев-рй]

Достав шар наугад и посмотрев его цвет мы получили дополнительную информацию о системе, считай провели косвенные измерения. Очень близко к идеям некоторых квантово-механических экспериментов. Можно сказать что мы запутали 2 шара исходное состояние одного из которых было неизвестно и провели измерение😁

[Psixx]

Да, задача напоминает парадокс Монти Холла. Но от этого она не становится хуже, а наоборот.

[ds]

Строго говоря устройство урны нам также не известно. Если она с двойным дном, то вероятность вытащить второй шар равна нулю, а по условию задачи мы должны ответить о вероятности цвета шара находящегося в урне, не доставая его. То есть вероятность в этом случае будет 1/2.