Το Πυθαγόρειο Θεώρημα, στα γρήγορα

Μια γρήγορη παρουσίαση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με τρεις διαφορετικούς οπτικούς τρόπους. Β γυμνασίου και Β λυκείου γεωμετρία.

[lamagl]

Λίγο φρένο δεν βλάπτει κύριε/α MathTube gr .
Όποιος βιάζεται σκοντάφτει…
Όταν κάποιος κάνει ότι θέλει (ακόμα και αν θεωρεί ότι καλώς ενεργεί χωρίς να το έχει διερευνήσει το θέμα), θεωρώντας ταυτόχρονα, ότι ευρίσκεται στο πλαίσιο των αποδείξεων με μαθηματικά μέσα, αποδεικνύει ότι θέλει. Το πυθαγόρειο είναι ψευδές. Σε ότι αφορά το αξίωμα του εμβαδού (γιατί αναφέρεστε και σε εμβαδά) για σκεφτείτε αν υπήρχε αξίωμα του εμβαδού μέχρι την διατύπωση της θεωρίας συνόλων. Σκεφτείτε ακόμα παρακαλώ, αν η διατύπωση του πυθαγορείου κάνει αναφορά σε εμβαδά ή σχήματα. Σκεφτείτε επίσης ότι μόνον ίσα σχήματα έχουν ίσα εμβαδά χωρίς να ισχύει και το αντίστροφο, οπότε δεν έχει νόημα η ειδική αναφορά σε εμβαδά αφού καλύπτεται από την ισότητα των σχημάτων. Μετά σκεφτείτε βάσει ποιας κοινής έννοιας ή κατοπινού αξιώματος ενώνετε σχήματα μετασχηματίζοντας. Πιο κάτω μάλιστα θα συναντήσετε και επιχειρηματολογία της ΕΜΕ με επίκληση του αφαιρετικά της φύσης! Ξέρετε να είναι αξίωμα το αφαιρετικά της φύσης που να απαγορεύει την διερεύνηση του πυθαγορείου με υλικά υποδείγματα, όπως μπορώ να σας υποδείξω πόσοι και πόσοι μαθηματικοί (π.χ. Πάρις Πάμφιλος καθηγητής στο πανεπιστήμιο Κρήτης ή Μαλβίνα Παπαδάκη στην ηλεκτρονική βιβλιοθήκη της ίδιας της ΕΜΕ που αρνείται αυτές τις αποδείξεις) το αποδεικνύουν και το διδάσκουν με πλακοστρώσεις; Αν επιμείνετε μπορώ να σας παραθέσω και απόδειξη με το αξίωμα του εμβαδού που συμφωνεί με τους ισχυρισμούς μου. Εξάλλου δεν μπορεί το θεώρημα να είναι συγχρόνως και ψευδές και αληθές. Αν είσαστε (που δεν έχω λόγο να το αμφισβητώ) υπεύθυνος σαν δάσκαλος, οφείλετε μία δημόσια απάντηση ή να κατεβάσετε το βίντεο,  γιατί δεν φταίνε τα παιδιά μας να μαθαίνουν το ψευδές σαν αληθές επειδή εσείς αισθάνεστε ότι όντως κάνετε καλό, ενώ εν αγνοία σας κάνετε το εντελώς αντίθετο... 
Λάμπρος Μαγκλάρας
  
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Αθήνα 2 Απριλίου 2007
Αρ. Πρωτοκόλλου: 12234/2-4-07 

Ο κύριος Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας απευθύνθηκε στην Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία καταθέτοντας τον ισχυρισμό, ότι το πυθαγόρειο θεώρημα είναι εσφαλμένο. Επικαλέστηκε τα εξής: 1. Ότι κατασκευαστικά δεν μπορεί να αποδειχθεί το θεώρημα, επειδή κατά τους μετασχηματισμούς είναι αδύνατο 2 ζεύγη κατακορυφήν γωνιών - π.χ. 2 ζεύγη ίσων μεταξύ τους ορθογωνίων ισοσκελών τριγώνων - να εφάπτονται ταυτόχρονα στο «κέντρο» του υπό σύνθεση τετραγώνου, ώστε να το αποτελέσουν. 2. Ότι θεωρητικά το πυθαγόρειο θεώρημα: α. Ζητά και προβαίνει προς απόδειξή του, σε αθροίσεις σχημάτων (Το άθροισμα των τετραγώνων κ.τ.λ.) που δεν προβλέπονται από το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη, ούτε από την νεότερη τυποποίησή του από τον Hilbert. β. Δεν έχει την αναγκαία για κάθε θεώρημα αξιωματική στήριξη.  Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, ανταποκρινόμενη με ευθύνη στις αιτιάσεις του κυρίου Λάμπρου Θ. Μαγκλάρα, θεωρώντας ταυτόχρονα χρέος της να διαλευκάνει το ζήτημα, τον κάλεσε στην Επιτροπή ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ και παρουσία πλήθους συναδέλφων μαθηματικών καθηγητών, του παρέσχε τις εξής διευκρινήσεις σχετικά με το πυθαγόρειο θεώρημα. 1. Σε σχέση με την κατασκευαστική αδυναμία, που όντως εμφανίζεται επί εποπτικής φύσεως, π.χ. υλικά υποδείγματα, όπως ορθά και ο ίδιος επισημαίνει, αυτή η αδυναμία ουδόλως επηρεάζει την ορθότητα του πυθαγορείου, καθώς η κατασκευή είναι εποπτική και τα μαθηματικά λειτουργούν αφαιρετικά της φύσης. 2. Σε σχέση με τις αθροίσεις σχημάτων, του επισημάνθηκε, ότι όντως αυτές δεν προβλέπονται (όπως ορθά ισχυρίζεται) από την γεωμετρία, αλλά κατά ερμηνεία, οι αθροίσεις αυτές ανάγονται σε αθροίσεις εμβαδών, δηλονότι αριθμών και όχι σχημάτων. Έτσι, επί ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου, με μέτρο κάθετης πλευράς 1, το τετράγωνο της υποτείνουσας εκφράζεται από τον ακέραιο θετικό αριθμό 2, δηλαδή από τετράγωνο με εμβαδόν 2. 3. Σε σχέση με την αξιωματική στήριξη του πυθαγορείου, αυτή υποδείχθηκε στον κύριο Λάμπρο Θ. Μαγκλάρα, ότι ευρίσκεται στο αξίωμα του εμβαδού, αφού οι αθροίσεις είναι αθροίσεις εμβαδών και όχι σχημάτων.  

 ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ  
Ο εισάγων την ερμηνεία
ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΕΚΤΕΛΕΣΤΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑΣ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄
Γιώργος Τασσόπουλος
ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΕΜΕ  
Νικόλαος Αλεξανδρής