РАВНОСТОРОННИЙ - ЖЕСТКО! ВСЕ В ПРОЛЕТЕ!

ABC - равносторонний, внутри т. М, AM=1, CM=\|2, угол AMC=105. Найти BM.

[AlexeyEvpalov]

Задача на закрепление метода поворота. Спасибо за последовательное обучение.

[СергейКовалев-тдм]

"И не разберёшь,
Пока не повернёшь..."

[SB-]

С теоремой косинусов никаких проблем нет. Сначала, после вычисления cos105° = (√2/4)∙(1 - √3), получаем AC^2 = 2 + √3. Этот корень легко извлечь: АС = (√2 + √6)/2. Теперь
вычисляем угол АСМ: cos ∡ACM = (2 +2 + √3 – 1)/[2∙√2∙(√2 +√6)/2] = (3 + √3)/(2 +2∙√3)= √3/2 ⟹ ∡ACM = ∡BCM = 30° ⟹ ∆ACM = ∆BCM ⟹ x = 1! Но очевидно, это классическая задача
на применение поворота, подходящей альтернативы по простоте решения этому методу в данной задаче нет, как мне кажется.

[БашШа]

Благодарю за науку повернуть правильно дабы облегчить задачу.

[tsaiis]

Обалденно интересная задача! МК--высота. (теор. косин.). Пусть АК=х, СК=у. Из прям-х тр-ков АМК и МКС :
х+у=\/(4--\/3)
1--x^2=2--y^2 . х=\/2/2. МК=АК(Пифагор!). Угол МАК=45, МСК=30. Сл-но, МС-- это биссект., высота, средин. перп-ляр на АВ(!). Сл-но, тчк М
равноудалена А и В(как и люб. друг. тчк. на МС. АМ=МВ=1

[PavelOstafiy]

Решил в уме получилось х=1
Решил с помощью поворота на 60⁰ вокруг т.В Применив теорему косинусов нашёл ММ1=1. Треугольник МВМ1 равносторонний МВ=1. Спасибо автору, периодически смотрю ролики, видел этот метод, а тут пригодился. Раньше бы не решил.

[СергейМорозов-хь]

Нет, здорово! Свежая мысль, жаль, что в конце теорему косинусов пришлось применить, но можно проще. Выбрать на АС точку К так, угол АМК=45 градусов, а угол КМС = 60 градусов. Теперь, опустим на МК перпендикуляр из точки А. Пусть Р – его основание, тогда РМ=1/(корень из 2). Далее, опустим из точки С перпендикуляр на МК, его основание – Т, но так как угол ТМС равен 60 градусов, то ТК=1/(корень из 2). Проще говоря, точки Р и Т совпадают, мало того, как основания перпендикуляров они лежат на АС. МС – биссектриса угла С, треугольники АМС и ВМС равны, Х=1.

[spase]

Да не. Вы уже подобную решали😊.
Но адептов " неумения" поворачивать таки надо учить! Что у Вас великолепно получается!!! 👍👍👍

[papa-yl]

Продлим АМ до ВС в точке Е, проводим перпендикуляр из С на АЕ в точку D. Строим квадрат с диагональю АС и сторонами АD=CD. Доказать не сложно. Тогда <MAC=45*, <АСМ=30*, точка М находится на биссектрисе, АМ=МВ=1.

[ВерцинГеториг-чь]

Поворачиваем тр к по часовой стрелки вокруг т. С до совпадения стороны тр-ка ВС с АС . Образовался четырехугольник АМСМ1, где, проведя линию ММ1, - разбивается на два тр-ка : тр-к СМ!М - равносторонний, так как между его равными сторонами СМ и СМ1 =\/2 угол МСМ1=60* . При равных сторонах - равные углы (180*-60*)/2=60* - все углы по 60* и стороны равны друг другу - \/2 ; угол четырехугольника АМС=105* линией ММ1 делится на два - М1МС=60*, который относится к тр-ку СМ1М (где углы все равны - по 60*) и АММ1=105*-60*=45*. По теореме косинусов, х*2=\/1, Х=1 .

[Ischim]

Попробую только с помощью углов . Проведем из т.А под углом 15 к АС прямую, она пересечет ВС в т.N , угол АNC=105 . Проведем из т.В под углом =15 к ВС прямую, она пересечет ВС в т.К, угол ВКС=105, эти тр. Равны, ВК и ВN пересекутся в т.О под прямым углом .Тр.АОВ равнобедренный и прямоугольный . Проведем из т.М прямую параллельно АВ, она пересечет АО в т. М1 , ВО в т. М2 . Тр. АОВ и М1ОМ2 подобны. Тр.АМО=тр. ВМО т.к АО=ОВ, ОМ -общая и угол между ними=45, отсюда АМ=МВ.

[alexnikola]

в принципе, можно обрисовать тригонометрический вариант решения.. если сторона а, то a^2=1+2-2√2cos(60+45)... затем провести высоту из М на АС и найти косинус МСА... ну и x^2= 2+a^2-2√2a*cos(60-MCA)... но это громоздко... наверняка, Валерий будет поворачивать АС на 60 градусов либо по, либо против часовой стрелки... надо самому еще подумать.... как этот поворот использовать... ведь еще Машина времени пела "вот! новый поворот.."

[pojuellavid]

Убили меня насмерть. А я хотел похвастаться ...
Тока два отличия. Ваш поворот я строил сечением угла 105 на 60+45. А далее ВМ1 -- осевая, АВМ1 -- равнобедренный и АМВ равнобедренный

[adept]

Решал принципиально похоже, но начальный посыл несколько другой.
Меня учили, что, если есть угол 105°, то его надо делить на 60° и 45°.
Деление высотой никуда не ведёт. Значит, делим наоборот.
.Из т. М - луч под углом 60° к АМ, на нём отложить ММ₁ = АМ, соединить М₁ и С.
Далее по тексту (Вашему).
Мне кажется, что, несмотря на то, что идея поворота приходит сразу -
сразу не сообразишь, что, куда и насколько крутить.

[vkr]

Построим треугольник А1М1С1 такой что А1М1=1, угол М1А1С1=45, угол А1М1С1=105, тогда высота М1Н1=√2/2 а М1С1=М1Н1*2=√2 и это значит построенный А1М1С1=АМС (по двум сторонам и углу) угол АСМ=30, СМ ось симетрии и х=1! Изначяльно правдо решил поворотом, люблю этот прием, но тут уже про повороты много написали можно повернуть любой из трех малых треугольников, или дпже весь АВС😀

[rostamshahi]

В школе не понимал как совершать повороты. Моё восхищение Вами Валерий. Ещё один пример.

[YardenVokerol]

Зная любовь составителей задач к красивым углам...
105°=45°+60° 🥸✌️ x=1
Действительно, пусть H: H∈AC, MH⊥AC.
Тогда из предположения, что CM - биссектриса, следует, что MH=AH=√2/2, AM=√[2+2]/2=1, что соответствует условию. Дополнительным доказательством является сумма углов: 360°-2•105°=150°,
(180°-150°)/2=15°,
15°+45°=60°=∠A

[ВячеславФоминых-рг]

Хорошо бы без косинусов обойтись.Не могу я их осилить.А так все красиво.Валерий, спасибо.

[barsa]

решал точно так же, но вместо т. косинусов провел перпендикуляр М1К к МС. Ну а дальше элементарно- из тр. МКМ1 МК= М1К = половина МС (т.к. гипотенуза 1) ну и М1КС такой же. т.е. М1С=1. все.

[ДмитрийИвашкевич-ят]

Для разнообразия. Строим равнобедренный прямоугольный треугольник ОМС с гипотенузой МС так что точка О внутри угла АМС=105°
ОМ=1; <АМО=105°-45°=60°; ∆АМО равносторонний
ОА=ОМ=ОС=1, значит О центр окружности, описанной вокруг ∆ АМС
<МАС=90°/2=45°
<МСА=180°-45°-105°=30°
∆АМС и ∆МВС равны по двум сторонам и углу между ними. МВ=АМ=1