Доказать неравенство ★ 3^n+4^n≤5^n, для n≥3 ★ Метод математической индукции

@arinablog наш семейный канал

[ВикторИванов-юю]

Когда-то где-то прочитал: "Если что-то очевидно, а доказать надо, можно использовать доказательство индукцией".

[AlexeyEvpalov]

Метод математической индукции. Спасибо.

[dmitrygurban]

Тот случай, когда посмотрел сегодня видео про 3^100+4^100<5^100. Можно было бы доказать этим же способом и это неравенство.
Делим на 5^n. Получим (3/5)^n+(4/5)^n сравниваем с 1. Т.к. основания меньше единицы, то с ростом n сумма в левой части уменьшается. Проверим неравенство при n=3. Получим А это значит, что с увеличением n сумма в левой части всегда будет меньше 1, т.е. 3^n+4^n<5^n при любом n>=3, что и требовалось доказать

[ВладимирБойков-тк]

Про метод математической индукции стоит привести больше примеров. В том числе из геометрии. Не знаю, впервые Вы изложили решение ММИ или нет, но стоит привести примеры тривиальных задач про прогрессии. Больше задач, решенных ММИ постепенно приводит к пониманию, что метод силён (а всё таки он "вертится"). И в завершении процесса изучения ММИ стоит огласить его статус в математической логике, а именно, - аксиома! Как известно, не все аксиомы принимались людьми сразу. Одна история с постулатом Евклида и геометрией Лобачевского многого стоит. Может про это тоже рассказать? Это ломает представление об "очевидном". Всем удачи в изучении ММИ! Изучение математики - это труд! С Праздником мира и труда!

[Alexander--]

Вот ещё как можно:
Непосредственной проверкой убеждаемся, что неравенство верно для всех, достаточно малых n.
Предположим, что мы нашли наименьшее значение n = N, при котором это неравенство неверно, т.е. справедливо 3^N + 4^N >= 5^N при некотором N >= 3, причем N - самое маленькое среди всех таких n.
Выполним те же преобразования, что и в видео, только в обратном порядке:
Разделим на 4: 3^N / 4 + 4^N / 4 >= 5^N / 4
Увеличим левую часть и уменьшим правую, в результате неравенство тем более останется верным:
3^N / 3 + 4^N / 4 >= 5^N / 5
3^(N - 1) + 4^(N - 1) >= 5^(N - 1)
А значит, исходное неравенство: 3^n + 4^n < 5^n не выполняется и при n = N - 1
Получили противоречие: предположив, что существует такое наименьшее N, при котором данное неравенство неверно, мы нашли ещё меньшее такое n.
Т.н. "Принцип крайнего" - по сути тот же метод мат. индукции.

[liftovik]

Замена множителей 4 вместо 3 как-то резко выполнена.

[Alexander--]

В одном из комментариев к Вашему предыдущему видео было предложено как раз точно такое же решение)

[azerjabi]

Проше можно было доказать --разделить на 5 (n) тогда 3\5 и 4\5 являются sin и cos одного аргумента тогда равносильно решат нерав sin^n (a)+cos^n(a)<1 a=argsin 3\5
при n=2 равенство а при n>2 будет <1

[dimboka]

Делим обе части на 5^n
(3/5)^n + (4/5)^n V 1
n = 3:
91/125 < 1
А т.к. слева функция убывающая, то при n > 3 неравенство тоже выполняется

[shpigelmaned]

Пусть 3^n + 4^n < 5^n. Умножим обе части неравенства на 5: 5^(n+1) > 5*3^n + 5*4^n > 3*3^n + 4*4^n = 3^(n+1) + 4^(n+1) !

[aleksaleks]

Это неравенство выполняется для всех действительных чисел n>2.

[megamindrus]

Можно было поделить на 5^n>0 и отталкиваться от этого

[uni]

Скажите пожалуйста как можно дойти до суммы последовательности из корней, √1+√2+√3+...+√n, сумма мне известна A_(n)≈√(n+1)×(4n+1)/6-i^i, но какой вывод ?

[Владимир-зъз]

В условии говорится про натуральные числа, а 2 подойдёт, если 3^n+4^n=5^n, но левая часть меньше, значит n больше двух подойдёт

[__Nazaran__]

Можно было и индукцией. Но решение интересное

[marklevin]

Слишком длинно . Проще доказать это неравенство для любого n>2. Не только целооо.целого. Поделим обе стороны на 5^n.. Слева убывающая функция а справа 1. Если n=2 то Пифагоровы штаны во все стороны равны.Поэтому если n>2 то левая часть меньше правой

[alexeyholin]

Это получается, что менее чем за 5 минут доказана половина Великой Теоремы Ферма !) И это, думаю, именно так. Вторая половина опирается на Теорему Пифагора.. ? Огромное спасибо за доступное изложение

[muamarkinik]

ДОКАЗАНО ДЛЯ N+1, но не доказано для n. Только предположили. Поэтому это не доказательство, а игра букв и подтасовка цифр. В очередной раз сел решить подобные задачи и понимаю, что после слов: поверим(верно), что при n наше утверждение верно....все рушится. Это как сказать: пусть второй этаж здания построен, давайте заселим третий этаж, не разбираясь в том, построен ли второй этаж. Очень тонкая и хилая теория матиндукции.

[Viller]

Неверно. n>2 вот это верно. Я проверил всё при n=2.5 и получилось что 5 в степени н будет больше

[eminemin]

5^n = (4+1)^n= 4^n + 1^n + n×4^(n-1) +
тогда значит сравниваем две суммы

3^n + 4^n и 4^n + 1 + n×4^(n-1) + K, где K > 0.

из обоих сумм
вычитываем 4^n и получаем

3^n и 1 + n×4^(n-1) + K

теперь сравним
3^n и n×4^(n-1) = n/4×4^n,
для этого поделим обе части неравенства на 4^n и получим

(3/4)^n и n/4
откуда видно что при n > 2

(3/4)^n < n/4

следовательно при n > 2

3^n + 4^n < 5^n