Άλγεβρα Γ’ Γυμνασίου | 2.2.B. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου

Πολυωνυμικές βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 3
Τέτοιες είναι οι εξισώσεις που ο εκθέτης του αγνώστου είναι 3,4,5…..και δεν υπάρχει μεταβλητή σε παρονομαστή.
Οι εξισώσεις αυτές λύνονται με παραγοντοποίηση, δηλαδή προσπαθώ να τις φέρω σε μορφή γινόμενου πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων παραγόντων.
Εάν υπάρχουν παρονομαστές κάνω πρώτα απαλοιφή παρονομαστών.
Σε μια πρωτοβάθμια εξίσωση χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, ενώ σε μια εξίσωση βαθμού μεγαλύτερου η ίσου του 2 , φέρνω όλους τους όρους στο 1ο μέλος.
Εξαίρεση σ’ αυτό αποτελεί η ειδική περίπτωση 2ου βαθμού ( αχ2 +γ = 0 που είδαμε πως ο ένας τρόπος λύσης είναι να χωρίσω γνωστούς από αγνώστους )
Ειδική περίπτωση
Εάν μια εξίσωση είναι άθροισμα τετραγώνων ίσο με μηδέν τότε: παίρνω κάθε όρο ίσο με μηδέν, λύνω την κάθε εξίσωση χωριστά και βρίσκω τις κοινές λύσεις.
Ρητές εξισώσεις ονομάζονται οι εξισώσεις που έχουν ένα τουλάχιστον κλάσμα με άγνωστο στον παρονομαστή.
Πώς λύνω μια ρητή εξίσωση;
1. Κάνω παραγοντοποίηση σε όσους παρονομαστές γίνεται.
2. Βρίσκω το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών (για να βρω το Ε.Κ.Π. παίρνω όλους τους παράγοντες που είναι στους παρονομαστές από μια φορά και τον καθένα με τον μεγαλύτερο εκθέτη).
3. Παίρνω το Ε.Κ.Π. διάφορο του μηδενός για να βρω τις τιμές του αγνώστου για τις οποίες δεν μηδενίζεται κάποιος από τους παρονομαστές.
4. Κάνω απαλοιφή παρονομαστών, είτε πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π. είτε κάνοντας ομώνυμα με καπελάκια.
5. Λύνω την απλή πολυωνυμική εξίσωση που προκύπτει.
6. Ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκα είναι δεκτές με βάση τους περιορισμούς από το 3ο βήμα.
Παραγοντοποίηση τριώνυμου με την βοήθεια των ριζών του
• 1ος τρόπος
Να παρατηρήσω ότι το τριώνυμο είναι ανάπτυγμα ταυτότητας τετραγώνου δηλ (α+β)2 ή (α-β)2
• 2ος τρόπος
Εάν θέλω να παραγοντοποιήσω το χ2 +βχ +γ, τότε βρίσκω δύο αριθμούς χ1 και χ2 που έχουν άθροισμα το β και γινόμενο το γ , οπότε: χ2 +βχ +γ = (χ+χ1) (χ+χ2) { γράφω τους αριθμούς χ1 και χ2 με το πρόσημο που έχουν}
Προσοχή ! Ο τρόπος αυτός εφαρμόζεται μόνο εάν ο συντελεστής του χ2 είναι το 1.
• 3ος τρόπος
Κάνω διάσπαση κάποιου όρου έτσι ώστε να προκύψουν τέσσερις όροι και να κάνω ομαδοποίηση.
• 4ος τρόπος
Εάν θέλω να παραγοντοποιήσω το τριώνυμο αχ2 +βχ +γ, τότε εάν το άθροισμα των συντελεστών α, β
• 5ος τρόπος
Να βρω τη διακρίνουσα και τις ρίζες ρ1 και ρ2 με τους τύπους των ριζών ,οπότε:
o εάν Δ μεγαλύτερο του 0 τότε αχ2+βχ+γ = α ( χ –ρ1) (χ- ρ2)
o εάν Δ = 0 τότε αχ2+βχ+γ = α ( χ –ρ) 2
o εάν Δ μικρότερο του 0 τότε το τριώνυμο δεν έχει ρίζες οπότε δεν παραγοντοποιείται
Ο τρόπος αυτός είναι ο καλύτερος αφού οι υπόλοιποι μπορούν να εφαρμοστούν υπό προϋποθέσεις, ενώ με τη διακρίνουσα μπορώ να παραγοντοποιήσω οποιοδήποτε τριώνυμο παραγοντοποιείται!
#brainy