Bernullische Ungleichung | Beweis | Klausuraufgabe

= Video Beschreibung ======================

In diesem Video setzen wir uns mit einer Klausuraufgabe zur Bernoullischen Ungleichung auseinander und beweisen diese mithilfe der vollständigen Induktion. Zudem behandeln wir eine Teilaufgabe, die die Grenzen der Bernoullischen Ungleichung aufdeckt.

= Ergänzungen ============================

Wie kam ich auf die Zahlen t = -3 und n = 5 in Minute 2:46?

Um einfacher zu rechnen sei t ∈ ℤ^- \{-1} .

Erste Methode (in jedem Schritt wird t um 1 negativer und n läuft gegen ∞):
►Bei t = -2 ist die linke Seite entweder +1 oder -1, die rechte Seite ist jedoch immer kleiner oder gleich -1. Die Ungleichung gilt also.
►Bei t = -3 ist die linke Seite (-2)^n und die rechte Seite 1 - 3n. Die linke Seite wächst als Potenzfunktion schneller als die lineare rechte Seite. Um die linke Seite negativ zu machen, muss n ungerade sein.
▻Für n = 1 und n = 3 sind beide Seiten gleich.
▻Bei n = 5 wird die linke Seite jedoch grösser als die rechte (wie in dem Video bei 02:32 erklärt), so dass die Ungleichung nicht gilt.

Zweite Methode (in jedem Schritt wird n um 1 positiver und n läuft gegen -∞):
►Setze n = 0: In diesem Fall sind beide Seiten der Ungleichung gleich 1.
►Setze n = 1: Hier sind beide Seiten der Ungleichung gleich 1+t.
►Setze n = 2: In diesem Fall ist die linke Seite (weil eine Potenz einer negativen Zahl mit geradem Exponent) immer positiv, während die rechte Seite immer negativ ist. Die Ungleichung gilt.
►Setze n = 3: Jetzt ist die linke Seite immer negativ und wächst schneller (da Potenzfunktionen schneller wachsen als lineare Funktionen), während die rechte Seite linear wächst.
▻Bei t = -2 ist die linke Seite -1, die rechte Seite -5.
▻Bei t = -3 sind beide Seiten -8.
▻Bei t = -4 ist die linke Seite -27, die rechte Seite hingegen -11.

= Fehler ================================

In Minute 2:10 hätte nach (*) (1+t)(1+nt) stehen sollen anstelle von (1+t)(t+nt).

= Quellen ================================

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ÜBER MICH

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#Bernulli #vollständigeInduktion #Analysis

[MathemitNoel]

Wenn du Fragen hast, kannst du mir diese gerne in den Kommentaren stellen oder du kannst mir auch eine Nachricht schreiben. Die E-Mail-Adresse findest du in der Videobeschreibung.

Möchtest du wissen, wie ich auf die Werte *t = -3* und *n = 5* in Minute 2:46 gekommen bin? Die Antwort findest du in der Videobeschreibung.

[stratege]

hey, Danke für das Video!
Bei Minute 2:10 ist glaube ich ein typho, und zwar musss es nach dem (*) heißen: (1+t)(1+nt)