Сколько здесь отверстий?

Сколько отверстий делает игла в листе бумаги, смятом в плотный комок, когда прокалывает его насквозь? Как оценить это число?

Благодарим вас за интерес к нашей работе!

или сервисе Boosty:

Новосибирский Государственный Университет

[drdynanite]

Отверстия группируются, когда игла прокалывает одно-двухкратный сгиб листа, причём при таких сгибах отверстия и/или группы отверстий симметричны относительно линии сгиба

[abc_nickolay]

Группировка по парам, кажется, имеет простое объяснение: сложение листа (даже хаотичное) подразумевает "появление парного листа" на той же площади, что загнули (с парными отверстиями, линиями последующего сгиба).

[rusgon]

Всем привет! Думал что в данном видео будет рассмотрено трёхмерное обобщение Задачи Бюффона о бросании иглы.
Ну а парами проколы (и кластеры проколов) формируются в местах локальных изгибов по обе стороны от изгиба

[Кто-то-ях]

А теперь попробуйте совместить отверстия так, чтобы они совпали, и вновь стали одним проколом!😂

[ds]

Любой замин - это складывание пополам. Игла может пройти один раз, если лист имеет края и второй прокол прошёл мимо края, либо если игла находилась изначально внутри комка, либо прокол прошёл ровно по сгибу. Возможны комбинации. А распределение проколов зависит от комкания (складывания). У комка ярко выраженный центр, где слоёв много - там много проколов. К тому же топология распределения задана свойствами материалов иглы и бумаги.

[ИгорьКоба-бх]

Я по другому рассуждал. Максимальное количество раз, которое можно сложить лист бумаги это 7. Соответственно количество слоев буде 2 в степени 7, т.е 128 слоев. Минимальное количество раз 2. По распределению Гауса среднее будет 64. Ну и я ещё предположил, что 128 слоев это при идеальном сложении листа без полостей. Поэтому тоже ответил что не 64 а около 50 отверстий будет.

[Razoomnick]

С одной стороны, слои могут быть под углом. Это дает, если я правильно посчитал, множитель 2/pi в оценке (интеграл синуса от 0 до pi/2, деленный на pi/2).
С другой стороны, мы протыкаем самое толстое место, что должно давать множитель 4/3 (отношение диаметра шара к высоте цилиндра того же объема с таким же радиусом основания).

В итоге, получается оценка S / S' * 2 / pi * 4 / 3, или поправочный коэффициент 8 / 3pi = 0.84... к оценке методом деления площадей.

[romanbayramuk]

интересно получить этот "поправочный коэффициент" теоретически 🤔

[irvingrabin]

Очевидно, что чем тоньше бумага, тем больше будет сгибов и тем больше дырок будет проколото. С другой стороны, тем меньше будет и сечение. Если толщину уменьшить вдвое, то объём будет вдвое меньше, а значит диаметр будет меньше в кубический корень из двух, а площадь сечения будет меньше в квадрат кубического корня из двух...

[MsBarsh]

Дырки стоят парами так как это аналог седлоузловой бифуркации из динамики. Складка бумаги на самом сгибе - это парабола, а иголка - аналог оси абсцисс. Вот и получается, что как только иголка попадает на сгиб складки, то сначала возникает негрубое решение (седлоузел), от которого при сдвиге иголки дальше от сгиба рождается пара решений, т.е. симметричных дырок.

[illarionpak]

Интуиция подсказывает, что в этом "шутливом" эксперименте заложено какое-то фундаментальное распределение встречаемое в природе. Возможно какой-то специалист увидит здесь аналогию или новую идею для своей области исследований.

[udp]

Крайняя левая колбасень неправильно обведена) нужно нижнюю точку в левом углу забирать, т.к. у колбасы нет симметричной линии сгиба, а у нижней левой точки есть. Т.е. вы старались обводить так, чтобы вложенные структуры были симметричны внешним, а это не всегда так, что может давать систематическую ошибку (тут она одна, вроде)
--
А у верхней левой точки, которая на колбасе останется одна, если исправить, пара — правая одиночная точка.
--
Объяснить просто: разумеется, это квантовая запутанность, если одна точка имеет верхний спин входа иглы, то запутанная с ней — нижний. 😊 А одиночная точка — запутана с виртуальной точкой, лежащей вне множества точек листа.
--
PS: Андрей Иванович, только не обижайтесь, я вас искренне люблю и уважаю, Вы большой молодец и делаете важную работу. Я для себя регулярно встречаю что-то новое в простых вещах, не говоря уже о детях.

[leonidbykov]

Я дал 100 с учётом сгибов листа от его площади по вертикали. В среднем посчитал площадь листа - у меня вышло 660. Итого, сам прокол как минимум половину не затрагивает и можно использовать данные обычного сворачивания листа, по диаметру шара. Короче, за 10 секунд предположил 60 проколов, плюс погрешность на объем шара. Первая мысль 50 проколов, но пока писал, думаю около 18.

[chagkruzart]

Проколы группируются, потому что лист внутри при сжатии должен сгибаться вдвое, вчетверо, итд

[XBOCT_MAMOHTA]

- Кафедра физики, что-то у вас бумаги ненужной слишком много хранится. Разберитесь
- это инвентарь для экспериментов

[MsBarsh]

Развивая аналогии из теории бифураций: у вас легко может получиться и тройка дырок - одна посередине и две симметричных вокруг неё, если лист окажется локально сложенным по кубической кривой. Это будет называться бифуркацией "вилка".

[constantine]

Прекрасная задача! Предлагаю своё решение, теоретическое.
*
*
*
Возьмём вместо иглы трубку с малым поперечным сечением s. Протыкая бумажный лист под углом α, она вырезает из него кусочек площади s/cos(α). Угол α -- случайная величина, каждый раз разная, но если среднее значение 1/cos(α) известно (обозначим его c = E[1/cos(α)]), то можно оценить и суммарную площадь вырезанных кусочков. В случае N проколов, она должна быть примерно равна N·c·s
В другой стороны, если бумажный шарик имеет более-менее равномерную плотность, то доля бумаги в трубочке не должна отличаться от доли бумаги внутри всего шарика. То есть в трубочке должно оказаться ρ·D·s квадратных сантиметров бумаги. Здесь D -- диаметр комка и, соответственно, длина трубочки, а ρ -- плотность комка, т.е. количество кв.см. бумаги в единице объёма.
Мы нашли количество бумаги в трубочке двумя разными способами. Приравняв их, увидим, что площадь сечения трубки s сокращается, и неизвестную N можно выразить как N = ρ·D/c.
Теперь осталось найти c, это задача из продвинутого курса теорвера. В предположении, что иголка может прилететь в плоскость бумаги равновероятно с любой из сторон, ctg(α) будет иметь распределение Стьюдента с 2 степенями свободы. К сожалению, тогда c = E[1/cos(α)] уйдет в бесконечность. Поэтому временно переопределим c так: с = 1 / E[cos(α)] = sqrt(2) (это жульничество, но для грубой оценки сгодится); тогда для числовых данных из задачи D = 3.5 см, ρ = 27 см⁻¹, откуда N = 67 примерно.

[Dimonshirson]

Берём лемму о сложении листа бумаги до 7 раз, с того что одно сложение даёт 2 отаерстия, а следующие удваивают, 2^7=128 отверстий.

[Геннадий-жоц]

Одна грустная красная точка без пары...

[picofarad]

Пары находятся на одном расстоянии от края складки )