Из школьного учебника по геометрии для 8 класса

Найди площадь квадрата в прямоугольном треугольнике.

[AlexeyEvpalov]

Обозначим правый острый угол a. Тогда sina=x/3, cosa=x/2. Подставим в sin^2+cos^2=1, получим xx/9+xx/4=1 |×36, 4xx+9xx=36, xx=36/13. Площадь S=xx=36/13.

[АйратБакиев-ши]

Решил через подобие треугольников в одно уравнение, в две строки) Спасибо автору. Лайк.

[alexandermorozov]

Можно проще, и без всяких b. Достаточно рассмотреть верхний маленький треугольник, у которого a=2/3x. Тогда по теореме Пифагора:
x^2+4/9x^2=4
x^2(1+4/9)=4
x^2=4*9/13=36/13

[жоражо-ыж]

поворачиваем верхний треугольник "схлопывая квадрат. Получаем прямоугольный треугольник и его высоту равную стороне квадрата по формуле высоты прямоугольного трейгольника получаем 2*3\sqrt(13) возводим в квадрат и получаем 36/13

[Белыеклавиши]

Я считал подобными треугольники с гипотенузами 2 и 3. Тогда решение проще получается, потому что сторона маленького треугольника это х, и не нужно вводить лишнюю переменную

[СвободныйМатематик]

Обозначаем сторону квадрата х
И по пропорциям подобных тре-ков левый катет верхнего 2х/3
По теореме Пифагора
х²+(2х/3)²=4
х²+4х²/9=4
13х²=36
х²=36/13

[alexanderitskovich]

Что то, вы перемудрили с решением.
Обозначая через а сторону квадрата, через подобие треугольников с диагоналями 2 и 3, получаем следующие равенство:
√(4-а^2) / 2 = а / 3
Отсюда:
3√(4-а^2)=2а
Возводим обе стороны в степень 2:
9(4 - а^2) = 4а^2
Раскрываем скобки:
36 - 9а^2 = 4а^2
Отсюда:
а^2 = 36 / 13
И никаких непонятных теорем, синусов, косинусов и прочего. Подобие треугольников и теорема Пифагора - и это всё.
Заумные понты учителей, дорого обходятся ученикам!

[igorzagorodnev]

Через подобие треугольников гораздо проще и быстрее.

[Filosof_]

Поворачиваем верхний треугольник до соприкосновения с нижним (через общую точку между ними). В результате получается прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3, и гипотенузой √13 (по Пифагору). Формула высоты имеет вид h=2S/a. S равно (2*3)/2=3. Подставляем данные в формулу h=(2*3)/✓13. Возводим в квадрат и получаем 36/13.

[МаксимАндреев-щб]

x — сторона квадрата. Тогда вертикальный катет треугольника с гипотенузой 3 равен x, а горизонтальный в 1, 5 раза больше горизонтального у треугольника с гипотенузой 2 из подобия, т.е. 1, 5x. По теореме Пифагора x^2+(1, 5x)^2=3^2, 3, 25x^2=9, S=x^2=9•4/13=36/13 — площадь квадрата.

[pemp]

Через основное тригонометрическое тождество:
sin(a) = x/3, cos(a) = x/2;
cos(a)^2 + sin(a)^2 = (x/3)^2 + (x/2)^2 = 1;
x^2 = 36/13 = S.

[datoato-wo]

А у меня такой квадрат делит гипотенузу на отрезки 2, 14 и 2, 86. Или в математике сотые можно отбрасывать? А как решать если условие не правильное? Если я что то забыл про Египетский треугольник, поправьте пожалуйста!

[ИгорьВоронов-мг]

Этому не учат в школе? Правильно делают!
Подобие треугольников доказывать не требуется, вписанный квадрат говорит о параллельности сторон. Соотношение сторон задано - 2/3, треугольники прямоугольны - очевидно. Тот же квадрат обеспечивает равенство несоответствующих катетов треугольников, что позволяет утверждать, что отношение катетов каждого из треугольников также равно 2/3
Таким образом последнее, перед вычислениями, уравнение, к которому Вы так долго шли, можно было записать сразу

[ЛидийКлещельский-ьх]

Спасибо. 1:34 . Можно чуть иначе. a^2+x^2=4. С уважением, lidiy27041943

[КириллГончар-фл]

Сразу рассматривал треугольник с гипотенузой 3. Соотношение катетов как х и 3/2х. Далее по теореме Пифагора х'2+(1, 5х)'2=9. Далее х'2=36/13.

[ТатьянаБаранова-эъ]

Такой квадрат невозможно построить при делении гипотенузы 2:3 будет прямоугольник 1, 6:1, 8

[alextsoy]

Чуть по другому: sina=x/3; cosa=x/2. Подставляем это в основное тригонометрическое свойство: sin²a+cos²a=1 и получаем: (x/3)²+(x/2)²=1. Откуда получаем x²=36/13.

[AJFantocii]

Почему результат через египетский треугольник другой.

Это ег. треуг. 3, 4, 5.
Сторона квадрата Х.
Через подобие получаем 5/3=3/Х.
Х=9/5
S=81/25=3, 24

[МаксимЗабелин-гц]

2/5=х/(х+у)->у=3/2у. 9=х^2+у^2 уравнения по проще будут

[whoflore]

чёт я здесь сразу т. Фалеса не увидел, только потом допер