Ordnung Element geht auf Element derselben Ordnung Isomorphismus - Beweis (Algebra, Gruppentheorie)

Wir beweisen, dass bei einem Gruppenisomorphismus ein Element mit der Ordnung n auf ein Element derselben Ordnung abgebildet wird. Zudem gibt es genau nur ein Element der Ordnung 1, und zwar je die neutralen Elemente. Und wir zeigen, dass g^i ungleich g^j ist, für alle 1 kleiner gleich i kleiner j kleiner gleich n.
Diese Erkenntnis ist sehr hilfreich, um zu zeigen, dass es keine Isomorphie zwischen Z4 und Z2xZ2 und zwischen Z6 und S3 gibt.

Gruppenhomomorphismus Isomorphismus Erklärung Beispiele:

Gruppenisomorphismus Äquivalenzrelation:

Konjugation Gruppenisomorphismus:

Der Kern von einem Gruppenhomomorphismus ist ein Normalteiler:

A_n Normalteiler von S_n:

Keine Isomorphie zwischen Z4 und Z2xZ2 und zwischen Z6 und S3:

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[ThaWaffle]

Ich verstehe nicht ganz, wieso die Ordnung von phi(g) nicht kleiner als n sein kann.

Wir zeigen hier ja nur, dass die Ordnung von phi(g) n teilt, aber wieso ist n die kleinste solche mögliche Zahl?