✓ Введение в математический анализ. Множество действительных чисел | матан #001 | Борис Трушин

Математический анализ 001
Множество действительных чисел (аксиоматический подход)

Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:

Кроме этого, можно купить мои прошлогодние курсы в записи:

[rankserpenty]

Быть может и не столь актуально, но:
1) 0 только один:
Если нуля два, то тогда сумма первого нуля с любым числом равна этому числу. Сложим первый ноль со вторым нулём, получим второй ноль. Но и сумма второго нуля с любым числом равна этому числу. Сложим второй ноль с первым нулём, получим первый ноль. Поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется, то первое и второе равенство имеют общую часть, а именно сумму первого и второго нуля, то есть, равны и результаты, то есть ноль первый и ноль второй, значит, это одно и то же число. Ч.т.д.
2) Для А число (-А) единственно. Положим, что есть два числа (-А). Тогда по одной из аксиом сложения получаем, что сумма А с первым (-А) равна нулю. Но и сумма А со вторым (-А) равна нулю. Теперь уже равны результаты сложения, а, значит, равны и сами суммы. Поскольку выражение a<=b тождественно равно a+c<=b+c, а в частности a+c=b+c, то прибавим к обеим сторонам равенства любое из (-А), таким образом аннигилировав А из обеих частей получив равенство, где первое и второе (-А) равны, то есть, это одно и то же число.Ч.т.д.
3) Число Х, при котором А+Х=В, только одно:
Пусть есть несколько таких Х, назовём их Х1 и Х2. Тогда для первого будет выполняться А+Х1=В, а для второго А+Х2=В. Равенство правых частей означает равенство левых, А+Х1=А+Х2. Пользуясь частным случаем аксиомы порядка из доказательства выше (далее [*]), прибавляем к обеим частям (-А), аннигилируя А. Получаем Х1=Х2, то есть, это одно и то же число. Ч. т. д.
4) 1 только одна:
Пусть будет две единицы (1 и 1' ). Тогда произведение А на обратное ему число равно 1, но в то же время равно и 1'. Равенство произведений означает равенство результатов, то есть, 1=1', значит, это одно и то же число. Ч.т.д.
(Здесь можно взять аксиому А*1=А и, представляя умножение в общем виде как краткую запись многократного сложения, добавить частный случай для [*], получив, что при домножении обеих частей равенства на одно и то же число равенство сохраняет верность, тогда получаем А*1=А*1', домножаем на 1/А обе части и получаем те же выводы)
5) обратное число единственно:
Пусть это не так, тогда А*(1/A)=1 и А*(1/A)'=1, то есть, поскольку правые части равны, равны и левые. Пользуясь расширением случая [*] из доказательства (4), домножаем обе части на любое из чисел, обратных числу А, аннигилируя А. Получаем, что первое и второе обр. числа равны, то есть, это одно и то же число. Ч.т.д.
6) Число Х, при котором А*Х=В, только одно:
Имеем два удовлетворяющих условию икса: Х1 и Х2. Тогда А*Х1=В и А*Х2=В. Из равенства правых частей следует равенство левых, пользуясь дополнением случая [*] из д-ва (4), домножаем обе части равенства А*Х1=А*Х2 на (1/А), получаем равенство иксов, то есть, это одно и то же число. Ч. т. д.
7) А*0=0
Вспоминаем, что по аксиоме А+0=А. При этом если А само является нулём, то получаем вид 0+0=0 как частный случай аксиомы. Принимая умножение за краткую запись многократного сложения, можем представить А*0 как 0, сложенный сам с собой А раз. Тогда 0+0+....+0+0=0, то есть, 0*А=0, то есть, А*0=0. Ч.т.д.
8) если А*В=0, то А=0 или В=0
Из предыдущего д-ва установили, что А*0=0. То есть, если А умножим на что-то, отличное от нуля, и само А нулём не является, то нуля в результате не получим. Значит, хотя бы одно из А или В должно быть равно нулю. Ч.т.д.
9) либо а<b, либо a=b, либо a>b.
Пусть это не так и к примеру a<b одновременно с a=b. Тогда, поскольку a=b, получаем, что b<b (подставили вместо a равное ему число b), что противоречит аксиоматике наших чисел, значит, может быть только одно из соотношений (для знака > доказательство то же). Если одновременно a<b и a>b, то получаем, что a<b и b<a, то есть можно записать это как a<b<a, то есть a<a, что противоречит аксиоматике порядка наших чисел. Ч.т.д.
10) 1>0:
из аксиомы порядка вспоминаем, что произведение положительного А на положительное В даёт положительный результат. Пусть наше В равно единице, тогда по другой аксиоме А*1=А. Пусть А положительно, тогда и результат, равный самому А положителен. Но такое возможно лишь если 1 положительна, то есть, больше нуля. Вывод: 1>0.
11) если А<=B, то -В<=-A:
Имеем А<=В, пользуясь аксиомой, частный случай которой мы ранее использовали как [*], добавляем в обе части -А, тогда 0<=B-A. Теперь к обеим частям первого равенства добавим -В, получим, что А-В<=0. Получаем двойное неравенство-цепочку: А-В<=0<=B-A. То есть, можно записать как A-B<=B-A. Прибавим к обеим частям сначала -А, потом -В, получаем -В-В<=-А-А, то есть, записывая короче, 2*(-В)<=2*(-A). Теперь домножим на число (учитываем случай [*] из (4) д-ва), обратное двойке, то есть, на 1/2 обе части, получим -B<=-A. Что и Требовалось Доказать.

Для рациональных не работает аксиома непрерывности (Потому что между любыми двумя рациональными числами имеется хотя бы одно (на самом деле бесконечно много) иррациональных чисел).
Для иррациональных не работает аксиома непрерывности (Потому что между любыми двумя рациональными числами имеется хотя бы одно (на самом деле бесконечно много) рациональных чисел).
Для целых нельзя ввести некоторые обратные, поскольку дробь может быть иррациональным числом, не работает аксиома непрерывности.
Для N+0 нельзя ввести противоположные и обратные числа, не работает аксиома непрерывности.
Для N нельзя ввести ноль, противоположные числа, обратные числа, не работает аксиома непрерывности

Было больно, если есть ошибки, прошу любить и жаловать в ответах к комментарию.

[etochekate]

Сдала ЕГЭ, думала больше не вернусь на этот канал...
А нет, 1 курс, опять ничего не понятно и снова здравствуйте Борис :D

[xlcvcrh]

2019 подготовка к огэ
2021 подготовка к егэ
2022 матан

спасибо вам за мое математическое воспитание

[ldred_]

Так держать, Борис Викторович! Приятно, что даже после сдачи ЕГЭ вы не забываете про нас :)

[operative-division]

Чем замечателен ютуб. Можно, посмотрев теорию правильного вхождения в хату, сразу перейти к математическому анализу...

[alexsefan]

Не зря остался на канале.Спасибо за качественный контент!

[borismukhomor]

Хотелось бы еще плейлист по линейной алгебре 🙂

[ssim]

Не только юным курсистам, но и нам пенсионэрам весьма интересно слушать Вас.
Спасибо Борис!

[Football_Cringe]

Борис Викторович тооооп!
На лекции будто на китайском рассказывают, а тут легко и просто) спасибо вам!

[nicksm]

Аксиоматический подход хорош, потому что в математике самое важное это то, какие свойства у объекта, а не то, что он из себя представляет. Тем не менее, для таких важных и вроде бы "знакомых" объектов как действительные числа остаётся чувство недосказанности, действительные числа не становятся понятными объектами (тут хорошо вставить цитату Бертрана Расселла про аксиоматические определения, но я её забыл и не могу найти :) ). Если вам знакомо это чувство, то вам может быть полезен мой пост.

Я в школе не задумывался об этом (ну множество всех бесконечных десятичных дробей [ноль в периоде допускаем, а девятку - нет], ну и клёво), но в ВУЗе как-то приучили к строгости, поэтому захотелось разобраться, что из себя представляют действительные числа с точки зрения современной математики. Проблема в том, что тяжёло найти нормальную книгу, в которой бы это ясно объяснялось, в большинстве учебников по мат. анализу либо даётся аксиоматический подход (Зорич), либо вообще невнятное рукомахание, обращённое к интуиции и "здравому смыслу" (Ильин-Садовничий-Сендов, например). Неплохая попытка была у Фихтенгольца (впрочем, всё довольно сжато, рассуждения о множествах без современной символики выглядят диковато, а параграф о бесконечных десятичных дробях смехотворен с точки зрения строгости, опять же интуитивное рукомахание), ещё лучше получилось у Рудина (тоже довольно кратко, но более строго), из учебников по числовым системам стоит отметить Ларина.

Тем не менее, в 2011 году вышла великолепная книга Ethan Bloch ''The Real Numbers and the Real Analysis''. Да, на английском, но всем же ведь понятно, что сейчас без него специалисту ничего толком не сделать. По моему мнению лучший учебник по основам анализа: строгий, ясный, интересный, отличные упражнения, богатая библиография. И вот первые две главы как раз и посвящены числам, так как это нужно делать. Начинается всё с натуральных чисел (от аксиом, конечно, никуда не уйти, но аксиомы Пеано настолько интуитивно просты и сами натуральные числа настолько "понятны", что это гораздо легче переносится) и осуществляется нормальное честное построение N, Z, Q, R, ничего не утаивается, не считается очевидным (многие доказательства несложных фактов, конечно, выносятся на самостоятельную работу, но это всегда оговаривается). Действительные числа вводятся через сечения Дедекинда, но, конечно же, приводится и доказывается фундаментальная теорема о том, что все конструкции, обладающие свойствами, которые мы хотим от действительных чисел (упорядоченное поле со свойством наименьшей верхней грани) изоморфны относительно бинарных операций "сложение" и "умножение", и отношения "меньше". В конце второй главы есть настоящее строгое доказательство того, что представление действительного числа в виде бесконечной десятичной дроби периодично тогда и только тогда, когда число является рациональным (доказательство приводится для любой системы счисления). И доказательство этого факта весьма нетривиально, что примечательно, многие знакомые и "простые" факты доказываются иногда весьма непросто. Не зря ведь строгая теория действительных чисел появилась ближе к концу девятнадцатого века, почти 200 лет после Ньютона и Лейбница, и занимались ей одни из величайших умов: Кронекер, Пеано, Дедекинд, Вейерштрасс. К сожалению, в школьных, а иногда и в вузовских учебниках доказательствами зачастую называют интуитивные иллюстрации.
А в этом учебнике прекрасно всё: глава про пределы, про производные, про интегралы, про ряды. Строго вводятся все элементарные функции (особенно замечательно определение синуса, он вводится через арксинус, а арксинус определяется через определённый интеграл весьма простой иррациональной функции). Учебник требователен, но не хардкорен. Впрочем, желательно прочитать что-нибудь по введению в математику (например, замечательную книгу этого же автора ''Proofs and Fundamentals'' и/или книгу Velleman ''How to Prove It'').

Короче простыню накатал, но это потому, что я в восторге от этого учебника, вдруг кому поможет. Понятно, что это абсолютно ненужные знания для прикладников, но это само по себе по-моему очень красиво, к тому же не требует какого-то запредельного усилия, чтобы во всём этом разобраться (как если бы вы, например, захотели бы копнуть поглубже и добрались бы до основ теории множеств и формальной логики). Действительные числа — это тыл многих областей математики, а тылы должны быть прикрыты.

[cluter]

Это прекрасно. Получается, изучение высшей математики нужно начинать с того, чтобы "забыть всё, что знаешь" - в том смысле, что нужно критически отнестись к вещам, которые раньше тебе преподносились как самоочевидные. ИМХО алгебру нужно преподавать так же, как геометрию. Почему нельзя начиная с 7 класса использовать аксиоматический подход, как это делается в курсе геометрии?

[serg]

Спасибо большое Борис Викторович вас за эти видео, преподам в ВУЗе вообще пофиг, ничего не объясняют, рассказали лекцию и думайте сами, спасибо за объяснения

[dmitry.arapov]

Блин! Я реально думал, что времена года существуют из-за движения Земли вокруг Солнца! Спасибо за то, что просвещаете людей)
А за матан отдельное спасибо. С нетерпением ждал от вас эти лекции!

[lvgjccz]

БОрис Викторович, спасибо большое за то, что помогаете лучше понять и школьную и вузовскую математику. И да, конечно, хотелось бы продолжения)

[alexevsin]

Крутая тема, продолжайте, дядя Боря!

[DiadorII]

Спасибо за старания. Как же это хорошо, что Вы занялись этой темой

[vyacheslavzarechnev]

Большое спасибо, Борис Викторович! Я думаю, все будут рады продолжению (:

[-channel-]

Одни лайки!
Борис, я восхищен вами, давно искал такой строгий подход к обучению!
Прошу вас, продолжайте!

[TheGameProVideo]

Как вы это делаете Борис Викторович? Стоило мне только задуматься о подготовке, от вас выходит это видео. Огромное спасибо за ваши труды!

[Maximilian_Von_Vinogradoff]

Думаю, будет весьма интересно, как и всегда. Спасибо Вам!