exercice corrigé : la partie entière

la logique mathématiques
la partie entière
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spécialité mathématiques

[abdoulayesow]

1) Pour tout x, y dans IR,
E(x) <= x et E(y) <= y

La somme des deux implique :

E(x) + E(y) <= x + y

La fonction partie entière étant croissante on a :
E(x) + E(y) = E[E(x) + E(y)] <= E(x+y)
D'ou le premier résultat :
E(x) + E(y) <= E(x+y)

2) Pour tout x, y dans l'ensemble des réels IR,
x - 1 <= E(x)
En ajoutant y partout on obtient :
x + y - 1 <= E(x) + y

Par croissance de la fonction partie entière on obtient :

E(x + y - 1) <= E[E(x) + y]

Or E(x + y - 1) = E(x+y) - 1 et
E[E(x) + y] = E(x) + E(y)

On retrouve :

E(x + y) - 1 < E(x) + E(y).

D'où le second résultat.

[moustaphaba]

Pourquoi lorsqu'on élimine 1, strictement devient ou égal ?

[themieljadida]

Par définition, posons :
x=p1 +r1 où p=E(x) in Z, 0<= r1 < 1
De même y =p2 + r2 .

Donc E(x+y)= p1+p2 +E(r1+r2) **
Comme 0<= r1+r2 < 2 alors
0<= E(r1+r2) <= 1
Il en résulte, d'après **, que:
p1 +p2 <= E(x+y) <= p1 +p2 +1 .

[ftss]

je n ai pas compris elimination de 1 ?

[Maths-ff]

La première démonstration n'est pas convaincante