Aufnahmeprüfung Uni CAMBRIDGE UNIVERSITY – Geometrie

Aufnahmeprüfung Uni Cambridge University
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man die Geometrie Aufgabe aus dem Zulassungstest der Cambridge Universität mit dem Aufstellen einer Gleichung für den Flächeninhalt des Rechtecks lösen kann. Wir rechnen eine Aufgabe aus dem TMUA Test. Mathematik einfach erklärt.

0:00 Einleitung – Aufnahmeprüfung Cambridge
1:01 Lösung
3:49 Flächeninhalt Dreieck
6:53 Gleichung lösen
10:24 Bis zum nächsten Video :)

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#Cambridge #Mathe #MathemaTrick

[krachenford]

Oh, wie schön ist Mathe, wenn Du's erklärst!

[Mel-]

Solche Aufgaben haben wir von unserem Lehrer an der Realschule bekommen. Ich hab die damals schon geliebt und finde die heute noch toll. 😍

[popogast]

Sehr formal durchgerechnet. Das hätte man abkürzen können.

2 kleine gleichschenklige Dreiecke mit Seitenlängen x bilden ein Quadrat mit Seitenlänge x. Analog für die zwei großen Dreiecke. Summe der Flächeninhalte beider Quadrate muss 80 cm² sein. Das lässt sich auf die quadratische Gleichung 9:07 umformen und lösen.

Die geometrische Bedeutung der beiden Lösungen 9:47 hätte man ergänzend noch erläutern können.
Die Lösung x1 stellt ein Rechteck dar, dessen Längsachse auf der Geraden von N nach P liegt, also nicht wie in der Darstellung.
Die Lösung x2 stellt ein Rechteck dar, dessen Längsachse auf der Geraden von M nach O liegt, also genau wie in der Darstellung.

[MrStephanmichalek]

Wunderschön, wie Sie solche Aufgaben nachvollziehbar in Gleichungen übersetzen! In den Lösungsangeboten, bzw. der Zeichnung, ist ein kleiner Fehler. Die richtige Lösung wäre eigentlich x2, weil es die kleinere der beiden Lösungen ist und es ist ja nach der kleineren der beiden Teilstrecken der linken Seite gefragt. X1=NR, X2=RM Die Summe der beiden Lösungen ist 10. Ich wollte auch mal was Schlaues schreiben.

[m-electronics]

Echt krass, auf was man da alles kommen kann...
Das sind eigentlich alles Dinge, die ich jetzt im Realschulabschluss hatte, aber da wäre bei dieser Aufgabe nie drauf gekommen...
Und dir geht das irgendwie so leicht von der Hand, als ob du gar nicht mehr nachdenken musst😅
Ich würde da wahrscheinlich ewig für brauchen

[Mozartkugel]

Yay, ich könnte in Cambridge Computer Science studieren! 😀
Leider habe ich schon woanders ein IT-Fach studiert und das ist auch schon 20 Jahre her, aber schön zu wissen, dass die mich in die engere Auswahl gelassen hätten.. 😂

[klavierspielenwiewaldi]

Grösstmöglicher Wert heisst, dass R näher an N als an M ist.
Dadurch ist die Referenzentfernung entweder N oder der Mittelpunkt der Seite. In den Antwortmöglichkeiten kommt aber nur der Mittelpunkt der Seite vor und wird durch die 5 ausgedrückt. Damit ist es entweder Antwort E oder F.
Ein rotes Rechteck mit 20 cm^2 ist gesucht, welches in ein Quadrat von 10cm Seitenlänge passt, wenn man also bei der langen Seite 10cm annimmt, sollte es ungefähr 2 cm breit sein. Also eher eine längliche Form. Und weil es diagonal liegt sollten es dann eher 12x1, 6cm werden.
Damit wäre der Abstand zum Punkt N etwa 1, 6 / wurzel(2), ca .1, 1 - 1, 2 cm.
Die Wurzel von 15 ist etwas weniger als die Wurzel von 16, also geschäzt 3, 8 cm. 10 cm - 5 cm - 3, 8 cm = 1, 2 cm. Das passt!

Das waren knappe 2 Minuten nachdenken

[jawadzoualghina]

Hallo, ich bin einer ihrer Zuschauer und der gerne ihre Videos angeguckt. Ich hoffe sehr von sich, dass sie den kommenden Videos Barriere sprechen, weil es Menschen gibt mit seheeinschränkung die nicht wissen auf was sie gerade zeigen.
Liebe Grüße

[rolandet]

Schöne Aufgabe sauber durchgerechnet 👍!
Falls in Cambridge bei multiple choice Antworten auch das Ausschlussverfahren akzeptiert wird, kann man's sich etwas leichter machen:
Da (im Gegensatz zur Skizze) RM größer 5cm sein muss, scheiden A) und B) sofort aus, ebenso D) weil das ja die Länge der ganzen Diagonale ist und größer als 10.
Da sich bei RM=5cm ein rotes Quadrat mit Fläche 50cm² ergäbe, also mehr als doppelt so groß wie die gegebenen 20cm², ist klar, dass RM sehr nahe an 10cm liegen muss. Da bietet sich von den verbleibenden C), E) und F) eigentlich nur letzteres an.
Also F) 5+sqrt(15) 🤔! Fertig.
Wem das zu "fuzzy" ist (und wer noch etwas Zeit beim Test übrig hat 😉), der kann schnell noch 'ne Probe mit Pythagoras machen:
sqrt(2×(5+sqrt(15))²) ×
sqrt(2×(5-sqrt(15))²) = 20
Passt!
🙂👻
P. S. Die "Probegleichung" sieht hier im Kommentar vielleicht etwas wild aus, lässt sich aber mit Papier und Stift auch ohne TR in wenigen Zeilen recht leicht vereinfachen zu
2×sqrt(100) = 20.

[eugengrzondziel]

Sehr aufwendig gerechnet.
Das gesuchte x nenne ich als a

Die Fläche A=20= a x sqrt(2) x b x sqrt(2)
b=10 - a also
20 = 2 x a x (10 - a)
10= 10a - a^2
a^2 - 10a +10
Delta= 100 - 40= 60

a= (10+ sqrt(60)) /2= 5 + sqrt(4 x 15)/2
a) 5 + sqrt(15)

[hobbyist]

Schöne Aufgabe für den MBA Kandidaten. Satz des Pythagoras und Lösung quadratischer Gleichungen genügt

[gelbkehlchen]

Lösung:
a = Seite des Quadrates = 40/4 = 10,
b = RU = ST = Seite des Rechtecks,
c = RS = UT = andere Seite des Rechtecks,
x = MR = zu optimierende Größe.
RMU ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 90° – 45° – 45°. Deshalb gilt nach Pythagoras:
b = √(x²+x²) = √(2x²) = x*√2
NRS ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 90° – 45° – 45°. Deshalb gilt nach Pythagoras:
c = √[(10-x)²+(10-x)²] = √[2*(10-x)²] = (10-x)*√2
Fläche des Rechtecks = 20 = b*c = x*√2*(10-x)*√2 = 2x*(10-x) = 20x-2x² |/(-2) ⟹
-10 = -10x+x² |+10 ⟹
x²-10x+10 = 0 |p-q-Formel ⟹
x1/2 = 5±√(25-10) = 5±√15 ⟹
x1 = 5+√15 ≈ 8, 8730 und x2 = 5-√15 ≈ 1, 1270 ⟹
Offensichtlich ergibt die Summe beider Werte x1+x2 = 5+√15+5-√15 = 10, also die Seite des Quadrates. Der größtmögliche Wert für MR = x ist offensichtlich der größere Wert, also x1 = 5+√15 ≈ 8, 8730, also Lösung F.

[teejay]

Das Aufstellen der Gleichung geht viel einfacher mit Pythagoras:
Rechtecksfläche = |RU| * |RS|
|MR| = |MU| = x ⇒ |RU| = x √2
|NR| = |NS| = 10 - x ⇒ |RS| = (10 - x) √2
⇒ |RU| * |RS| = x √2 * (10 - x) √2 = x √2 (10 √2 - x √2) = 20x - 2x² = 20 | - 20
⇔ -2x² + 20x - 20 = 0 | : (-2)
⇔ x² - 10x + 10 = 0 | p-q-Formel (s. Video)
⇒ x = 5 ± √15, wobei 5 + √15 wegen 5 + √15 > 5 - √15 die gesuchte Antwort ist. ✅

[sz]

Variante: x² - 10x + 10 = 0 | + 15 => x² - 10x + 25 = 15 => (x - 5)² = 15 => x - 5 = ± √15 ...

[JRMenzon]

ich habe direkt die rote Fläche berechnet als a*b, dann a und b durch Pythagoras mit x und (10-x)
Auch ins Ziel gekommen.

Interessant ist aber zu sagen dass gemalt ist die zweite Lösung (5 - sqrt(15)) und die gesuchte liegt natürlich Symmetrisch über die Hälfte (10/2 = 5)
;-)

[avirtus]

Schöne Aufgabe. Nur am Ende hat mir noch eine Sache gefehlt: Natürlich ist x1>x2. Allerdings gibt es auch ähnliche Aufgabentypen, in denen dieses x1 plötzlich auch größer wird als die Seitenlänge des Quadrates - und wäre dann keine Lösung mehr. Ist also x1 auch eine plausible Lösung?
Da sqt15<sqr16 ist, wäre dann x1 kleiner als 5+4, also kleiner 9. Damit wäre auch das überprüft. In dieser Aufgabe sind x1 und x2 allerdings nur an der Mittelachse des Quadrates gespiegelte Lösungen. Es ist beide Male dasselbe Rechteck, nur einmal von links oben nach rechts unten bzw. links unten nach rechts oben...

[Birol]

Mein Lösungsvorschlag ▶
[RM]= x
[MU]= x wegen dem symmetrischen Aufbau
sowie:
[UP]=[NR]= 10-x
[PT]=[SN]= 10-x

Nach dem Satz von Pythagoras:
[RM]²+[MU]²= [UR]²
[UR]= a
[RM]= x
⇒
x²+x²= a²
2x²= a²
a= √2x

das gleiche für b:
[UP]²+[PT]²= [TU]²
[UP]= 10-x
[TU]= b
⇒
(10-x)²+(10-x)²= b²
2(10-x)²= b²
b= √2(10-x)

a*b= 20
√2x*√2(10-x)= 20
x(10-x)= 10
10x-x²= 10
x²-10x+10=0
Δ= 100-4*1*10
Δ= 60
√Δ= 2√15

x₁= (10-2√15)/2
x₁= 5-√15

x₂= (10+2√15)/2
x₂= 5+√15

für den höchsten Wert wäre:
x= 5+√15
⇒
F) ist richtig

[uwelinzbauer]

War erst bisschen misstrauisch, ob evtl Figur punktsymmetrisch, oder achsensymmetrisch, oder zu welchen Achsen.
Habe mich dann aber entschieden, achsensymmetrisch zur 45°Diagonale anzunehmen. - Mit Erfolg! Lösung gefunden.
-
Susanne: wie geht es Dir, bist Du noch in Florida?

❤liche Grüße!

[Alfi-rpil]

Was vielleicht niemand bemerkt hat: Die Summe der beiden Lösungen ist 5 + 15^0, 5 + 5 - 15^0, 5 = 10. Was nichts anderes heißt, als daß die Lösung, wenn man sie als Verhältnis der Seiten des Rechtecks betrachtet, eindeutig ist. Die 2. Figur, die hier wegen der Beschränkung RM = max nicht gefragt ist, ist die an der das Quadrat halbierenden Höhe gespiegelte. Das Verhältnis der Seiten des Rechtecks ergibt sich zu 12, 548 : 1, 594, sein Flächeninhalt ist 12, 548 * 1, 594 = 20, 001, passt.

[endsieb]

X2 ist der komplementäre Wert zu X1. Das rote Rechteck hätte dann seine kleinste Seite bei N.