Лекция 3 | Математическая физика | Николай Филонов | Лекториум

Лекция 3 | Математическая физика | Автор: Николай Филонов | Курс: Математическая физика | Организаторы: Математическая лаборатория имени П.Л. Чебышева

Следите за новостями:

[VNPetroFF]

22:20 Начнём раздувать шар с центром в какой-нибудь точке x0, минимум достигается на границе m(r)=min_Br u(x), он невозрастающая функция от r, невозможно m(r')>m(r) при r'>r для минимума и для неконстантной функции даже убывает строго m(r')<m(r). Возьмём какое-нибудь фиксированное r'>0, тогда по теореме Харнака max_Br u(x)≤3^n m(r)≤3^n m(r')=M1 при ∀r≥r', при этом внутри шара Br' max u(x)≤M2, так как непрерывная функция ограничена на компактах и значит u(x) ограничена нулём и числом M=max(M1, M2) на всём ℝ^n, по теореме Лиувилля она константа. Теперь предположим гармоническая функция u(x) ограничена только сверху u(x)≤M, тогда гармоническая функция u*(x)=−(u(x)−M) неотрицательная, поэтому по упражнению она константа, а тогда u(x) тоже константа. Если функция ограничена только снизу u(x)≥−M, то неотрицательна u*(x)=u(x)+M.
1:25:00 Построим неотрицательную функцию e_ε(x)∈C^∞(ℝ^n), такую что e_ε(x)=0 при |x|≥ε, e_ε(x)≥0 при |x|≤ε и ∫_Bε e_ε dx=1. Семейство {e_ε} в матанализе называется аппроксимативной единицей.
e_ε(x)={A_ε·exp(−1/(ε^2−x^2)), при |x|≤ε; 0, при |x|>ε}, 1/A_ε=∫_Bε exp(−1/(ε^2−x^2)) dx, где Bε шар с радиусом ε. Идея состоит в том, чтобы дельта-функцию аппроксимировать последовательностью гладких. Рассмотрим функцию g_ε(y, x), решение задачи Дирихле с правой частью f=e_ε(x−y) и нулём на границе ∂Ω.
Семейство функционалов <Tε, f> сходится к <T, f> звёздочка слабо, если <Tε, f>→<T, f> сходится как числовая функция от ε при ε→+0 для ∀f(x)∈C(Ω∪∂Ω). Я утверждаю, что семейство Tε=Δ'xg_ε(y, x) сходится звёздочка слабо к T=Δ'xg(y, x)=δ(x−y).
Действительно <Δg_ε, f>=∫_Ω Δg_ε·f dx=∫_Bε e_ε·f dx=∫_Bε e_ε·(f(y)+o(1)) dx=∫_Bε e_ε·f(y)dx+∫_Bε e_ε·o(1)dx=f(y)∫_Bc e_εdx+∫_Bε e_ε·o(1)dx=f(y)+o(1), так как |∫_Bε e_ε·o(1)dx|≤∫_Bε e_ε·|o(1)|dx≤∫_Bε e_ε(x)·Cε dx=Cε. Если интеграл ∫_Ω e_ε·f dx=f_ε(y) рассматривать как функцию от y, как свёртку f с e_ε, то можно доказать, что семейство гладких функций f_ε(y) сходится равномерно по y к f(y), непрерывной в замыкании Ω.
Выразим решение g_ε(y, x) через функцию Грина, g_ε(y, x)=∫_Ω g(x, t)e_ε(t−y)dt, аналогично звёздочка слабой сходимости можно доказать, что lim g_ε(y, x)=lim ∫_Ω g(x, t)e_ε(t−y)dt=g(x, y) при ε→+0 и x≠y. (1)
Обозначим u(x)=g(ξ, x), v(x)=g(η, x), u_n(x)=g_(1/n)(ξ, x), v_m(x)=g_(1/m)(η, x).
Теперь докажем ∫_Ω u_nΔv_m dx → v(ξ) при n, m→+∞.
∫_Ω u_nΔv_m dx → <δ(x−η), u_n>=u_n(η) при m→+∞ для ∀n. (2) Это верно из-за звёздочка слабой сходимости последовательности функционалов Tm=Δv_m к дельта-функции. Итак для ∀ε>0 найдётся N, что |v(ξ)−<Δv_m, u_n>|=|v(ξ)−u_n(η)+u_n(η)−<Δv_m, u_n>|=|g(η, ξ)−u_n(η)|+|u_n(η)−∫_Ω u_nΔv_m dx|<ε/2+ε/2=ε при ∀n, m>N. Сначала выбираем N1, чтобы выполнялось неравенство для первого слагаемого при ∀n>N1, это возможно согласно (1). Потом согласно (2) выбираем N>N1, чтобы выполнялось неравенство для второго модуля при ∀m>N.
Аналогично ∫_Ω v_nΔu_m dx → u(η) при n, m→+∞.
Согласно второй формуле Грина ∫_Ω u_nΔv_m dx=∫_Ω v_mΔu_n dx при ∀n, m, здесь u_n(x), v_m(x)∈C^∞(Ω), перейдём к пределу n, m→+∞ и получим v(ξ)=u(η) или g(η, ξ)=g(ξ, η).

Похоже я нашёл формулу для g_ε(y, x) в более явном виде. Обозначим g0*_ε решение задачи Дирихле с правой частью f=e_ε(x) и φ(x)=0 на границе шара Bε.
g0_ε(x)={g0(ε)+g0*_ε(x) при |x|≤ε; g0(x), при |x|>ε}, g_ε(y, x)=g0_ε(x−y)+g~(y, x). Такая функция g_ε(y, x) видимо есть явное решение задачи Дирихле с правой частью f=e_ε(x−y) и нулём на границе ∂Ω. Из явного вида этой функции понятно как g_ε(y, x)→g(y, x), если ε'>0 таково, что x∉Bε'(y), то для ∀ε≤ε' просто выполняется равенство g_ε(y, x)=g(y, x).