Лекция 1 | Математическая физика | Николай Филонов | Лекториум

Лекция 1 | Математическая физика | Автор: Николай Филонов | Курс: Математическая физика | Организаторы: Математическая лаборатория имени П.Л. Чебышева

Следите за новостями:

[VNPetroFF]

1:06:00 Предположим мы знаем формулу объёма шара радиуса r, Vn(r). Так как объём шара можно представить в сферических координатах как интеграл по радиусу от площадей сфер Vn(r)= ∫Sn(r)dr, то Sn(1)=d/dr Vn(r) |_{r=1}. Попробуем доказать формулу Vn(r)=v_n r^n, где
База индукции V1(r)=2r, v_1=2, индукционный переход
Vn+1(r)=2∫_0^r Vn(√(r^2−t^2))dt=2v_n ∫_0^r (r^2−t^2)^(n/2) dt=смотри ...=2v_n √π/2 Γ((n+2)/2)/Γ((n+3)/2) r^(n+1).
v_(n+1)/v_n = √π Γ((n+2)/2)/Γ((n+3)/2)
Теперь Sn(1)=d/dr Vn(r)|_{r=1} как Γ(z+1)=z·Γ(z) =2π^(n/2)/Γ(n/2)
...=∫_0^r (r^2−t^2)^(n/2) dt=r^(n+1) ∫_0^r (1−t^2/r^2)^(n/2) d(t/r)=r^(n+1) ∫_0^1 (1−s^2)^(n/2) ds=√π/2 Γ((n+2)/2)/Γ((n+3)/2) r^(n+1)?
∫_0^1 (1−s^2)^(n/2) ds= замена s=sin(φ) =∫_0^(π/2) cos(φ)^(n+1) dφ=I_(n+1)
Обозначим I_n=∫_0^(π/2) cos(φ)^n dφ
Интегрируя по частям I_n=∫_0^(π/2) cos(φ)^(n−1) d(sin(φ))=−∫_0^(π/2) dφ=(n−1)(I_(n−2)−I_n).
I_n=(n−1)/n I_(n−2), I_0=π/2, I_1=1
По индукции можно доказать, что I_n=√π/2 Γ((n+1)/2)/Γ((n+2)/2)
База I_2/I_0=1/2 и I_3/I_1=2/3
Индукционный переход · Γ(n/2)/Γ((n−1)/2)=так как Γ((n+2)/2)=nΓ(n/2)/2=
как (n−1)Γ((n−1)/2)/2=Γ((n+1)/2)
Если Γ(n+1/2)=√π(2n)!/(4^n·n!), то
I_2k=√π/2 Γ(k+1/2)/Γ(k+1)=π/2 (2k)!/(4^k·k!)/k!=π/2 (2k)!/(4^k·k!^2)=π/2 (2k−1)!!/(2^k·k!)
I_(2k+1)=√π/2 Γ(k+1)/Γ(k+1+1/2)=1/2
1:26:00 Так как u непрерывна в точке x, то её можно представить как u(y)=u(x)+o(1),
1/Sn(ε) ∫_∂Bε u(y)dS(y)=1/Sn(ε) ∫_∂Bε u(x)+o(1) dS(y)=u(x) 1/Sn(ε) ∫_∂Bε 1dS(y)+1/Sn(ε) ∫_∂Bε o(1)dS(y)=
=u(x)+o(1) → u(x) при ε→0.