Figúrky Harry Potter ⚡ Koľko balíčkov treba v priemere otvoriť, kým budú všetky?

DISCLAIMER + SPOILER: Aj keď vo videu prídeme k odpovedi na otázku z názvu videa, neznamená to, že vždy je takýto počet postačujúci, alebo že sa to nemôže podariť skôr. Podobne ako na kocke padne niekedy trojka na prvý pokus a inokedy nepadne ani po 20-tich hodoch, aj to, čo spočítame v tomto videu je len očakávaný počet balíčkov, ktoré treba otvoriť a teda v skutočnosti sa zbierku môže podariť skompletizovať na menej alebo aj na viac pokusov. Je to teda bezcenný výsledok? Vôbec nie. Je užitočné poznať priemerný počet pokusov, ktorý na túto úlohu treba - napríklad ju môžme použiť ako benchmark pri stanovovaní ceny kompletnej zbierky (Balíčky s figúrkami sa dajú kúpiť za 50 centov, čiže 95*0.5 = 47.5 eur je "neutrálna" cena zbierky. Za viac ako 50 eur by som kompletný set na bazoši nekupoval :) )

Vo videu som výpočet pracne naťukal do kalkulačky, ale spomínal som Harmonické čísla a Wolfram alpha. n-té harmonické číslo je súčet v prevrátených hodnôt prirodzených čísel od 1 po n. Teda H(n)=1+1/2+1/3+...+1/n. Wolfram alpha je miesto na Internete, ktoré vie na dobre položené otázky dobre odpovedať. A úplne najlepšie na matematické otázky - a keďže Wolfram pozná známe matematické objekty, nerobí mu problém spočítať, koľko je 25 krát 25. harmonické číslo:

Ak by Vás zaujímalo, koľko by bol očakávaný počet balíčkov k skompletizovaniu zbierky, ak by celkový počet figúrok nebol práve 25, ale nejaký iný, aj o tom si môžte ľahko vyrobiť predstavu pomocou Wolfram Alpha (kľudne si pomeňte hornú hranicu n pre lepšiu predstavu:

Harmonický rad síce diverguje do nekonečna, ale celkom "pomaly" a tak sa charakter tejto zberateľskej hry pri väčších zbierkach nijak dramaticky nemení a kým pri 25 figúrkach je očakávanie necelých 5n, tak pri 1000 figúrkach je to necelých 7n...

To ako sa náročnosť hľadania figúriek, ktoré ešte niesú v zbierke, s časom zvyšuje, som sa snažil opísať v závere videa tabuľkou. Možno je ale výrečnejší graf:

Pre viac matiky sa prihláste na odber:

Matika za 3 minúty je aj na Facebooku:

Použitá hudba a zvuky:

[marekf]

Je mi jasne, ze sa v globale neda konkurovat velikanom ako standupmaths, numberphile, alebo 3blue1brown. Takyto tematicky lokalny obsah je ale kazdopadne vynimocny a rad sa nan kedykolvek pozriem :)

[Foxosko]

Uuuzasne video, hlavne ten nazov 👓⚡ta motivacia, ze je to o HP, tak ma to bavi, super si