Как вычислить любой неизвлекаемый корень

[ЮрийЮдкин-юп]

Прикольный метод. По сути, мы считаем, что корень из интересующего нас числа равен корню из ближайшего квадрата целого числа. А реальная разница между ними (точнее, ей квадрат) определит погрешность полученного значения. Число меньше единицы, да ещё и возведённое в квадрат, да ещё и делённое на целое положительное число существенно большее нуля... погрешность окажется небольшой. Единственный момент, что погрешность будет плавать в зависимости от того, насколько близко число, корень из которого надо извлечь, расположено от ближайшего квадрата целого числа. То есть корень из 66 мы посчитаем существенно точнее, чем корень из 73.

Сам же для оценки со школьных лет пользуюсь другим приёмом. Более очевидным.
Допустим (для простоты), надо посчитать корень из 5. Можно сказать только то, что это будет число больше 2, но меньше 3. Но, с другой стороны, корень из 5 равен корню из 500 делённому на 10. А корень из 500 -- это где-то между 22 (квадрат равен 484) и 23 (квадрат равен 529). То есть уже можем сказать что корень из 5 больше 2.2, но меньше 2.3 (причём, где-то посередине между ними). При желании, можно вычислить корень из 50 тысяч (благо, способ извлечения корня с помощью карандаша и бумаги известен). Но, как правило, для оценки достаточно одного шага, а для точных расчётов не запрещено использование вычислительной техники.

[AlexeyEvpalov]

Возьмём точку не на самом графике f(x)=√x, а на касательной к нему. Формула касательной y=f(x0)+f'(x0)(x-x0). В данном случае для √66 будет f(x0)=f(64)=√64=8, производная f'(x)=(√x)'=1/(2√x), f'(64)=1/16, приращение x-x0=66-64=2. Подставив в формулу получим y=8+2/16=8, 125.

[АлексейМладенцев]

Есть значительно более удобный практический метод, позволяющий извлекать корни вообще любой степени буквально за две-три итерации, причем даже в уме (при умении считать)
Берем исходное число, например 11. Нужно извлечь из него квадратный корень. Берем первое число вообще от балды, близко к нужному, например 3. Делим 11 на 3, получаем. 3, 67. Берем среднее арифметическое между тем на что делили и то что получилось. (3, 67+3)/2=3, 335. Делим 11 на это число. 11/3, 335=3, 298. Берем среднее (3, 335+3, 298)/2=3, 317. Еще раз повторим 11/3, 317=3, 316. Видно, что с точностью до +-0.001 корень из 11 равен 3, 316. Это описывать долго, на практике быстро усваивается.
Аналогично можно извлечь и кубический корень, процедура меняется не сильно. например из того же 11
Берем для первой итерации 2. (11/2)/2=2, 75. Среднее (2+2+2, 75)/3=2, 25. Повторяем (11/2, 25)/2, 25=2, 17. Среднее (2, 25+2, 25+2, 17)/3=2, 223. Повторяем (11/2, 223)/2, 223=2, 225. Среднее 2, 224. Причем это с точностью до 0.001 и является кубическим корнем из 11.

[Zhong_Li]

В случае 125 лучше убрать из под корня то, что можно (25×5, значит 5 корней из 5), чтобы далее работать с более мелкими числами.

[andreykolobikhin]

Квадрат разницы и весьма простая формула! 👍

(√11-√9)^2= 11+9-2√11√9; довольно интересно и отличается от того что автор показал! 😉

[РуфинаПетрова-ет]

Прикольно. Меня смутило только одно знак равенства между иррациональным числом корень из 11 и рациональной дробью, пусть и переводческой, 10/3.

[АннаЧеснокова-пж]

Мне понравилось, возьму на заметку . Спасибо !

[ВладиславМалетин-вш]

Около 8, 125, спасибо, очень полезно!

[Edward-Wankel]

Спасибо! Несложная формула для не слишком точных расчетов))

[TheCktulhu]

Вот только писать вот так равенство как то неправильно. Там же только приблеженно корень из 11 посчитан.

[ddodrokhvalov]

Равенство в этой формуле писать нельзя.
По хорошему нужно записать
√a ≤ (a + b)/(2√b) .
Это получается напрямую из неравенства средних (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)
√(ab) ≤ (a + b)/2
Равенство достигается при a = b.
Чем дальше число a от ближайшего полного квадрата - тем больше погрешность формулы.
Но у меня на десятке примеров, где число a максимально далеко от ближайшего квадрата, получилась погрешность не более 0, 05
Можно попробовать доказать в общем виде, что погрешность не будет превосходить определенной величины. Что то мне подсказывает, что эта величина будет не более 0, 05

[ИгорьГанков-лж]

Это не вычисление корня, а получение приближенного значения. А вот в школе меня учили вычислять корень с любой точностью. Так-то.

[АнатолийАскольдович]

В справочнике Выгодского есть способ возведения в квадрат произвольного числа по квадрату ближайшего целого числа с "удобным" квадратом и приращению. А здешний алгоритм похож на обратное действие. Главное условие - чтобы приращение было значительно меньшим, чем само число. Здесь, похоже, то же самое - при большом отличии "удобного квадрата" от квадрата искомого результат будет неточным с нарастанием погрешности по мере увеличения разности. А значит не прямую надо рисовать, а кривую.

[bertasenaniev]

Метод прикольный. Ну нужно ещё доказать, что верно для всех чисел.

[i.gfarben]

Разложением в биномиальный ряд и подсчетом пары-тройки слагаемых без проблем делаются очень хорошие приближения, при чем увеличить точность не составляет труда.К чему какие-то трюки?

[ГОЛОСНАУКИЮрияДмитриева]

Точка, как абстрактный объект, не имеющий измерительных характеристик, но лишь местоположение, делает неевклидовы геометрии, фундаментально - квазиевклидовыми. С евклидовой они имеют тождественную основу - «безразмерную» точку без указания точности координат. Такое положение физически и математически не представляется вполне корректным, т.к. при указании любых координат точка фактически будет иметь, размер, хотя и неопределенный. Для решения проблемы предложена минимальная длина- константа, ниже которой более высокая точность координат уже не будет иметь физического смысла. Т.е. координаты двух соседних точек не могут быть меньше данной константы. Эта математическая и физическая константа принята равной примерно планковской длине (допускается уточнение, например, в процессах аннигиляции). Введены также понятия чисел-объектов и чисел-действий (операторов) над числами-объектами для формирования числовых осей. В междисциплинарном смыле константы-неоатомы можно считать математическими единицами и частицами праматерии с бесконечным временем жизни. Это позволяет физический объект представить и натуральным числом. Единицы-неоатомы-частицы могут быть представлены и структурными частицами физического вакуума и как реально самые элементарные частицы. В междисциплинарном контексте единой науки методологические проблемы стратегии развития математики с учетом представленных положений также могут получить новое толкование, включая и междисциплинарные границы аксиоматик, теорем и математических констант.

[ilgiz]

Комментарий в поддержку данного канала 🎉

[ЕгорКрамер-йю]

Корень из 66 у меня получился 8, 125, радует что я еще не забыл математику со школы!

[evgenems]

Есть же численные методы извлечения корня столбиком до любого знака, чего мудрить..

[IvanPetrov-tddk]

А чего не разобрал случай, когда число ближе к большему числу, из котрого извлекается корень?