Три перпендикуляра к биссектрисам | Готовимся ко Всероссу

Снова радикальные оси!

[ЖеняШешуков-чы]

Задача нетрудно решается барицентрическими координатами. Берём ABC за эталонный треугольник. Посчитаем координату a1.
Так как она лежит на прямой BC, то она имеет вид a_1= (0, t, 1-t). С помощью EFFT записываем условие того, что A_1I перпендикулярен AI и решая линейное уравнение находим, что a1=(0: b(a+b-c) : -c(a+c-b)). Аналогично (ну или в силу симметрии) получаем b_1 =(a(b+a-c) : 0 : -c(b+c-a)), c_1=(a(c+a-b) : -b(c+b-a) : 0). Для того, чтобы показать, что точки колинеарны достаточно показать, что определитель матрицы 3 на 3 вида
| a(b+a-c) 0 -c(b+c-a) |
| 0 b(a+b-c) -c(a+c-b) |
| a(c+a-b) -b(c+b-a) 0 |
Равен нулю, что очевидно верно