Desafio LINDO!!! Complexos + Geometria no ITA!!!

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Enunciado da questão:

Determine a área do polígono cujos vértices são as raízes da equação abaixo:
z^7 + z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0

Seja bem vindo à mais um episódio do programa favorito da família brasileira: Arroz, Feijão e Equações.

De segunda à sexta, às 12h07min, trazemos aqui a solução e o desenvolvimento de um desafio de matemática e/ou física para te deixar mais inteligente!

As questões às vezes serão autorais, outras serão de fontes de provas militares, como ESPCEX, AFA, IME/ITA, ESCOLA NAVAL, EFOMM…algumas outras serão de olimpíadas nacionais e internacionais de física e matemática, outras virão dos livros clássicos de física e matemática: russos, peruanos, armênios, etc.

É o creme de la creme da física e da matemática, meu amigo(a)! O objetivo é sempre tentar trazer uma solução elegante, que engrandeça o vosso intelecto e te sirva de alimento cerebral enquanto você alimenta o corpo.

O programa é pra ser assistido enquanto se almoça, portanto, bon apetit!

Hoje vamos resolver um desafio de MATEMÁTICA sobre NÚMEROS COMPLEXOS. Trata-se de uma questão de MATEMÁTICA do ITA.

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[UniversoMilitares]

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[mariadasgracasrodriguesdes]

Duvidei o engenheiro fazer um módulo no lições de matemática só de aplicação de números complexos em trigonometria. Aí o pau ia estourar

[PaoCumMortadela]

cheguei a z=-1, i, -i, (-1)^(¼), -(‐1)^(¼)
a minha deu em uma equação biquadrada

[SofiaLSO-nerd]

Essa questão me fez rir, por que fiz todo o raciocínio do plano complexo corretamente mas errei na conta da área do polígono de 8 lados 🤣🤣

[Gameplaysiradas-ycke]

3:40 fessor, aqui eu consegui notar que daria pra matar na lógica achando que z = -1

Lembrei que qualquer negativo elevado a expoente par é positivo

Se z^par menos 1 é 0
E z - 1 não pode ser 0

mas z não pode ser 1

Para poder valer então o z^par - 1 = 0 eu pensei em colocar o z valer -1

Dessa forma o z^8 - 1 dá 0 e o z - 1 fica diferente de 0

Resultando em 0/2 que dá 0

Depois pra validar isso eu fui naquele z^7 + z^6 +...+ 1 = 0 e substitui o z por -1 e funcionou

[thomaznavajas]

Pq dizer q as raízes estão nessa divisão 360/8? Qquer pto nessa circunferência tem módulo 1 e portanto ptos qq e seu correspondente diametralmente será raiz não precisando estar no ângulo de 45....e ai?!?

[matematicagoiania]

Professores do @UniversoMilitares, bom dia! Tenho um desafio de matemática para vocês, cujo desafio envolve, em certa medida, conhecimentos de: Geometria Plana, Geometria Analítica e Sequências e Funções. Bora lá?! Segue o enunciado:

Considere uma família, coleção, de "n" triângulos isósceles (cujos triângulos possuem uma mesma base de tamanho unitário) representados por {T1, T2, ..., Tn}, cujos os menores triângulos estão sempre inscritos nos triângulos maiores logo subsequentes e, por sua vez, estes triângulos maiores estão sempre circunscrevendo os triângulos menores logo anteriores, ou seja:

T1 ⊂ T2 ⊂ ... ⊂ Tn-1 ⊂ Tn.

Sabendo que a base dessa sequência {T1, T2, ..., Tn} está contida no intervalo (0; 1) do eixo horizontal do plano cartesiano e que essa sequência {T1, T2, ..., Tn} está localizada no primeiro quadrante do plano cartesiano, identifique a sequência dos locais geométricos dos pontos notáveis da coleção de triângulos isósceles {T1, T2, ..., Tn}.

[pedrojose]

Eu fui nesse caminho.
Somatório dos coeficientes de termos de expoentes pares iguais ao somatório dos coeficientes de termos de expoentes ímpares, uma raiz é -1.
Aplicando Briot Ruffini temos
(x+1)*(x^6+x^4+x^2+1) ora como sabemos podemos usar congruência mod4 para as potências de i
logo i^6=i^2=-1 e i^4=i^0=1 logo se vê que i é raiz do polinômio
Mas se i é raiz, -i é raiz pois os coeficientes são |R, mais especificamente inteiros.
logo podemos dividir x^6+x^4+x^2+1 por x^2+1
(x+1)*(x^2+1)*(x^4+1)
Já temos três raízes, -1, i, -i só falta achar (-1)^(1/4)
-1=e^[(pi()+2kpi())*i]
logo x=e^[(pi()/4+2Kpi()/4)*i] para k=0, 1, 2, 3 para outros valores o argumento será côngruo a algum desses.
k=0 x1= e^(pi()/4*i)= cos(pi()/4) + i sen(pi()/4), = raiz(2)/2* (1+i) mas é fácil observar que para k=3, x4 será o conjugado de x1 logo x4= raiz(2)/2*(1-i)
k=1 x2= e^(3pi/4*i)= raiz(2)/2*(-1+i), para x=3 seguimos a mesma linha de achar o conjugado x3=raiz(2)/2*(-1-i)
Portanto, achamos todas raízes do polinômio. Uma bela questão.
Só reparei depois de assistir ao vídeo que se pediu a área do polígono e não as raízes o que é até mais fácil de calcular.
temos 6 triângulos isósceles de lados 1(de mesma medida) formando ângulo Pi()/4 e um triângulo retângulo isósceles de catetos medindo 1. Galho fraco.

[luizgutierres]

Bom eu não vi como uma progressão geométrica logo de cara, então usei intuição e achei a raiz -1, então divide a equação por z+1, então deu z a sexta, a quarta, a quadrado e 0, então eu resolvi fazer y=z^2 então cheguei que z=+√-1 ou
-√-1 então dividi a equação com y por y+1, e cheguei a equação quadrática, então, então cheguei a (+ ou - √ + ou - √-1), kkkk nem sei se isso é válido, bom não é mais real né

[matematicagoiania]

Professores do @UniversoMilitares, bom dia! Tenho um desafio de matemática para vocês, cujo desafio envolve, em certa medida, conhecimentos de: Geometria Plana, Geometria Analítica e Sequências e Funções. Bora lá?! Segue o enunciado (corrigido):

Considere uma família, coleção, de "n" triângulos isósceles (cujos triângulos possuem uma mesma base de tamanho unitário) representados por {T1, T2, ..., Tn}, cujos os menores triângulos estão sempre contidos internamente nos triângulos maiores logo subsequentes e cujos vértices dos triângulos isósceles menores estão localizados na altura dos triângulos isósceles maiores logo subsequentes, de modo que:

T1 ⊂ T2 ⊂ ... ⊂ Tn-1 ⊂ Tn.

Sabendo que a base dessa sequência {T1, T2, ..., Tn} está contida no intervalo (0; 1) do eixo horizontal do plano cartesiano e que essa sequência {T1, T2, ..., Tn} está localizada no primeiro quadrante do plano cartesiano, identifique a sequência dos locais geométricos dos pontos notáveis da coleção de triângulos isósceles {T1, T2, ..., Tn}.

[Pastelboom]

Fiz essa questão hoje à tarde sksksksksk