KLAUSURAUFGABE Stetigkeit, Differenzierbarkeit (partiell und total), Richtungsableitung

Klausuraufgabe Analysis, 26.07.2021 Aufgabe 1, Universität Koblenz-Landau. In dieser Aufgabe soll von einer Funktion mit mehreren Veränderlichen die Stetigkeit, partielle Differenzierbarkeit, totale Differenzierbarkeit und Richtungsableitungen im Punkt (0,0) untersucht werden.

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Inhalt:
0:00 (a) Stetigkeit in (0,0) untersuchen
9:14 (b) Partielle Differenzierbarkeit in (0,0) untersuchen
14:33 (c) Richtungsableitung in (0,0) bestimmen
19:39_ (d) Totale Differenzierbarkeit in (0,0) untersuchen
21:09 Outro

Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.

[Timbo-ckbd]

Danke Peter, durch dich kommen wir durchs Mathestudium. Wir lieben dich <3

[eddill]

Peter du bist eine Legende, genau das was ich und sicherlich viele andere zur Klausurvorbereitung brauchen.
Danke!

[Mr.Brickz]

Brutalste Erklärung der Erklärungen. Einfach partielle Differenzierbarkeit auf Ehrenlos gegeben. Vallah krank.

[johnymahmuti]

Wirklich gut gemacht, du erklärst langsam, mimmst dir Zeit, sprichst drutlich und einzelnen Schritte, die zur Lösung führen.
Weiter so👍

[jontumlp]

Hm ich muss Stetigkeit wiederholen, PUFF da hat jemand was perfektes hochgeladen, großen Dank für alles 😊

[niklas]

Genau das, was ich heute zur Klausurvorbereitung gebraucht habe. Top!

[lauramignoli]

ich finde deine Erklärungen wirklich sehr gut! Vielen lieben Dank für die Arbeit, die du in deine Videos steckst.

[tillmanntroster]

Du schaffst es echt immer wieder gut, die oft erst unverständlichen Themen einfach wirken zu lassen. Das hilft sehr! Bester Mann

[Baniire]

Find ich klasse, dass genau die Themen hochgeladen werden, die mich besonders kirre machen :)
Kannst du vielleicht mal ein Video zur Einsetzmethode bei Extremwertproblemen machen?
Lg!

[dimp]

Erstmal danke für deine ganzen sehr guten Videos! Eine Frage: Also kann man die Richtungsableitung mit 2 verschiedenen Formeln ausrechnen? Denn ich habe ein anderes Video von dir gesehen (Altklausur) und dort hast du mit dem Gradienten gerechnet (da die Funktion total differenzierbar war). Ich hatte nämlich mal eine Aufgabe zur Richtungsableitung gerechnet und konnte diese ohne Probleme mithilfe des Gradienten ausrechnen, aber nicht mithilfe der Formel aus diesem Video f(x+hv1, y+hv2)- f(x, y) / h. Eigentlich macht es ja auch mehr Sinn den Gradienten zu benutzen, wenn es um eine Richtungsableitung geht, oder? :D

[fanost]

Kann man, bei einer Funktion, die nicht stetig ist auch die Methode mit Polarkoordinaten als Gegenbeweis nutzen und dann bleibt beispielsweise cos(phi) im nenner übrig?

[meemdt]

Nice, genau das was ich brauche. Dankee!!! Ein video zu Phasenpotraits zu dgls, dgl systeme, kritischer punkt, quellen usw. Wenn du das in dgl playlist mit reinpackst, wäre das sehr hilfreich Ich empfehle dich jeden meiner Kommilitonen hier auf der rwth.

Gibts bald wieder Live streams zu den Themen?

[cookingandjava]

Super video! Richtig trickreich, dieser Stetigkeitsbeweis

[nainibrok]

hi gutes Video. Eine Frage, kann ich immer mit geeigneter Substitution der Polarkoordinaten auf Stetigkeit überprüfen unter der Bedingung \varphi \in (0, 2pi] ubd r>0.

[gustavgotthelf]

Vielen Dank für das Konzept mit den Polarkoordinaten. Leider taucht es in meinem Skript nirgendwo auf. Stetigkeit wird dort entweder mit dem Epsilon-Delta-Kriterium bzw. einer einfacheren Abschätzung bewiesen oder mittels des Folgenkriteriums widerlegt.

[King-wxid]

geht des ganze im Fall von f(x, y, z) auch mit Kugelkoordinaten analog, dass ich r zuschnüre ?

[speckpackgamer]

Was bedeutet es genau, wenn die Funktion bezüglich φ nicht beschränkt ist? Und wie kann man nachprüfen, ob die Funktion überhaupt bzgl φ beschränkt ist?

[MikeyBarca]

12:38 meine Frage dazu wäre, also existiert die partielle Ableitung nach x, weil wir im Grenzwert 0 bekommen haben und das identisch ist mit der Ableitung der Funktion an der Stelle 0? An der Stelle 0 ist die Funktion ja einfach als Null definiert und 0 abgeleitet bleibt 0 und ist das die Begründung für die Existenz der partiellen Ableitung? Wenn bspw. hier im Grenzwert 1 rausgekommen wäre, sagen wir dann, dass die part. Abl. nicht existiert mit der selben Argumentation, die ich gerade gemacht habe?

[massimofontana]

Existieren alle partiellen Ableitungen von f in x_0 und sind diese stetig, so ist f differenzierbar in x_0 und damit ist f auch stetig, denn wie wir wissen gilt: Diff'barkeit => Stetigkeit, d.h. die Aufgabe b) löst gleichzeitig Aufgabe a).
Falls jemand es nachlesen will: z.B. Ehrhard Behrends Analysis Band 2, Satz 8.2.4. (ii).
Danke für die weitere Möglichkeit.

[yousham]

In der zweite Aufgabe, wann würde dann ein funktion nicht partiel differenzierbar sein? Wenn es nicht stetig ist? Wenn ja, ist ein funktion nicht stetig wenn der grenzwert minus oder plus unendlich ist oder wann ist ein funktion nicht stetig?
Danke im voraus