Лекция 2 | Группы классов отображений и их подгруппы | Александр Гайфуллин

Показать описание

Группа классов отображений ориентируемой двумерной поверхности S_g — это факторгруппа Mod(S_g) группы сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов поверхности на себя по подгруппе всех гомеоморфизмов, изотопных тождественному. Теория групп классов отображений замечательна тем, что она тесно связана с очень разными областями математики, в числе которых геометрия плоскости Лобачевского, группы кос, теория пространств модулей алгебраических кривых, трёхмерная топология, динамические системы, арифметические группы и многое другое.

В рамках спецкурса я постараюсь сосредоточиться на некоторых комбинаторных и гомологических свойствах групп классов отображений и их подгрупп (важнейшей из которых является подгруппа Торелли I_g, состоящая из всех классов гомеоморфизмов, тривиально действующих на одномерных гомологиях поверхности), а также на их связях с инвариантами Рохлина и Кассона трёхмерных гомологических сфер.

Программа
1. Теорема Дена — Нильсена — Бэра о связи группы классов отображений и группы внешних автоморфизмов фундаментальной группы поверхности.
2. МММ-классы (классы Мамфорда — Миллера — Мориты) в когомологиях групп классов отображений.
3. Действия групп классов отображений и их подгрупп на клеточных комплексах имеющих геометрическое происхождение: комплексе кривых, комплексе циклов и т. д.
4. Порождающие групп классов отображений и групп Торелли.
5. Инвариант Рохлина и гомоморфизмы Бирман — Крэггса I_g → Z/2Z.
6. Гомоморфизм Джонсона и строение абелизации группы Торелли.
7. Ядро гомоморфизма Джонсона и инвариант Кассона; алгебра Кассона — Мориты.

Пререквизиты
Предполагается, что слушателям курса знакомы понятия фундаментальной группы и группы одномерных гомологий поверхностей и их основные свойства. Также будет полезным (но не обязательным) некоторое предварительное знакомство с геометрией плоскости Лобачевского.

14 сентября — 14 декабря 2017 г., МИАН, ул. Губкина, д.8, ауд. 530, г. Москва