Wie berechne ich die Fourier Transformierte? | Fouriertransformierte eines nichtperiodischen Signals

Nicht-periodische bzw. aperiodische Signale s(t) können nicht als Fourierreihe dargestellt werden. Damit man das Spektrum von s(t) aber trotzdem mit Hilfe der Fourierreihe bestimmen kann, betrachtet man das periodisch fortgesetzte Signal und lässt die Periodendauer T gegen Unendlich streben.

Die Fourier-Transformation (genauer die kontinuierliche Fourier-Transformation) ist eine mathematische Methode aus dem Bereich der Fourier-Analysis, mit der kontinuierliche, aperiodische Signale in ein kontinuierliches Spektrum zerlegt werden. Die Funktion, die dieses Spektrum beschreibt, nennt man auch Fourier-Transformierte oder Spektralfunktion. Es handelt sich dabei um eine Integraltransformation.

In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen spielt die Fourier-Transformation eine wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe kann man Lösungen bestimmter Differentialgleichungen finden. Die Differentiationsregel und das Faltungstheorem sind dabei von essentieller Bedeutung.

Die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) ist eine Transformation aus dem Bereich der Fourier-Analysis. Sie bildet ein zeitdiskretes endliches Signal, das periodisch fortgesetzt wird, auf ein diskretes, periodisches Frequenzspektrum ab, das auch als Bildbereich bezeichnet wird. Die DFT besitzt in der digitalen Signalverarbeitung zur Signalanalyse große Bedeutung. Hier werden optimierte Varianten in Form der schnellen Fourier-Transformation und ihrer Inversen angewandt.

Die DFT wird in der Signalverarbeitung für viele Aufgaben verwendet, so z. B.
• zur Bestimmung der in einem abgetasteten Signal hauptsächlich vorkommenden Frequenzen,
• zur Bestimmung der Amplituden und der zugehörigen Phasenlage zu diesen Frequenzen,
• zur Implementierung digitaler Filter mit großen Filterlängen.

Mit der inversen DFT, kurz iDFT kann aus den Frequenzanteilen das Signal im Zeitbereich rekonstruiert werden. Die Diskrete Fourier-Transformation ist von der verwandten Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale (englisch discrete-time Fourier transform, DTFT) zu unterscheiden, die aus zeitdiskreten Signalen ein kontinuierliches Frequenzspektrum bildet.

Die Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale, auch als (englisch discrete-time Fourier transform), abgekürzt DTFT bezeichnet, ist eine lineare Transformation aus dem Bereich der Fourier-Analysis. Sie bildet ein unendliches, zeitdiskretes Signal auf ein kontinuierliches, periodisches Frequenzspektrum ab, welches auch als Bildbereich bezeichnet wird.

Die Fouriertransformation ist linear. Es gilt das Superpositionsprinzip.
Man unterscheidet zwischen periodischen und nichtperiodischen Signalen. Dabei steht die Darstellung dieser Signale durch harmonische Schwingungen also Sinus- und Cosinusfunktionen im Mittelpunkt, wie sie — im Falle periodischer Signale — durch die Fourier-Reihenentwicklung und — im Falle nichtperiodischer Signale — durch die Fourier-Transformation vermittelt wird.

Die Folge der Fourierkoeffizienten bildet das (Fourier-) Spektrum des periodischen Signals. Die Fouriertransformierte eines nichtperiodischen Signals bezeichnet man als Spektrale Amplitudendichte. Das Spektrum oder die Spektrale Amplitudendichte bestimmt — ebenso wie die Zeitfunktion — ein Signal vollständig.

Mathematik Nachhilfe in Villach

[babygirlhabibi]

Hallo gutes Video aber bei 1:38 sie müssen nicht mit partielle Integration integrieren weil nicht beide Faktoren eine t haben.

Der Faktor 1 wird zu 1x und der andere Faktor e^-jwt wird zu e^-jwt/-jw.
Bitte korrigieren

Lasse trotzdem ein Abo da weil das Video schön erstellt wurde . Kurz und viel Inhalt. Gefällt mir

[benjaminbienias]

Warum wurde hier partiell integriert? Ich kann doch die 1 als konstanten Vorfaktor einfach vors integral ziehen(oder einfach gleich weglassen) und dann normal integrieren oder nicht?

[hammerfall]

Muss es am Schluss nicht -1/(jw) (e^(-jw)+1) sein, weil wenn man 0 einsetzt gibt es ja -1/(jw), aber -1/(jw) ist ja schon ausgeklammert also +1 und nicht -1 im zweiten Faktor?

[leenlovesdancing]

Hab ich auch eine Fouriertransformierte bei periodischen Signalen?

[Muck-qyoo]

Ist es richtig dass man bei nichtperiodischen Signalen streng genommen garnicht mit Fourier arbeiten kann ohne gegen einen Grenzwert zu integrieren?