Eindimensionaler/ Linearer Potentialtopf

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In diesem Video wird der eindimensionale oder lineare Potentialtopf vorgestellt – ein quantenmechanisches Modell, das den Wellencharakter der Elektronen im Gegensatz zum Bohrschen Atommodell berücksichtigt. Dieser Potentialtopf lässt sich als eine Art „Behälter“ mit unendlich hohen Wänden beschreiben, in dem sich das Elektron, z. B. beim Wasserstoffatom, nur in eine Richtung, nämlich nach links oder rechts, bewegen kann – vergleichbar mit einem Elektron, das in einer Röhre gefangen ist.
In einem Atom werden die negativ geladenen Elektronen vom positiv geladenen Kern angezogen. Doch im Rahmen des Potentialtopf-Modells wird angenommen, dass keine Kräfte auf das Elektron wirken. Würde man das Elektron „loslassen“, würde es in diesem Modell nicht fallen, sondern in der Schwebe bleiben, ohne potentielle Energie. Seine gesamte Energie besteht daher nur aus kinetischer Energie, die aus der seitlichen Bewegung des Elektrons resultiert.
Da Elektronen sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften aufweisen, wird im Modell die Wellenfunktion Ψ zur Beschreibung der Elektronenwelle verwendet. Das Quadrat dieser Wellenfunktion stellt die Wahrscheinlichkeit dar, das Elektron an einem bestimmten Ort anzutreffen. Außerhalb des Topfes ist diese Wahrscheinlichkeit aufgrund der unendlich hohen Wände gleich null, weshalb die Wellenfunktion dort ebenfalls null ist. Der mathematische Formalismus der Quantenphysik verbietet außerdem, dass Zustandsfunktionen sprunghaft ihre Werte ändern. Die Zustandsfunktion muss daher auch an den Grenzen Null sein, damit auch das Quadrat der Wellenfunktion und somit die Aufenthaltswahrscheinlichkeit 0 ist. Daraus folgt, dass an beiden Rändern sich Wellenknoten befinden müssen, die sich nicht bewegen. Nur so ist dort der Wert immer 0. Zwischen den beiden Knoten dürfen sich also nur stehende Wellen befinden, da eine nicht stehende Welle am Rand schwingen würde. Die geringste mögliche Energiestufe entspricht dabei einer halben Wellenlänge und erfüllt die Bedingungen für stehende Wellen.
Das Quadrat der Wellenfunktion zeigt an, wo das Elektron am wahrscheinlichsten anzutreffen ist, meist in der Mitte des Potentialtopfes. Die nächsthöhere Wellenform hat eine doppelte halbe Wellenlänge. An den Knoten dieser stehenden Wellen ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit immer null, und die Knotenabstände entsprechen einer halben Wellenlänge. Je kürzer die Wellenlänge, desto höher ist die Frequenz und somit die Energie des Elektrons.
Nun zur Berechnung der Energiezustände des Elektrons:
Die Energie des Elektrons besteht nur aus seiner kinetischen Energie, also ½ m v2.
Nun nutzt man die Formel: Der Impuls p ist gleich der Masse mal der Geschwindigkeit. Stellt man diese Formel nach v um und setzt sie in die kinetische Energie ein, erhält man
E = p2 / 2 m.
Die De Broglie-Wellenlänge lautet p = h / Lamda.
Setzt man das für den Impuls p ein erhält man
E = h2 / Lambda 2 mal 2 m
Nun nutzen wir aus, dass die Breite L des Potentialtopfs ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge entsprechen muss, um eine stehende Welle mit zwei festen Enden zu erhalten.
Formt man das nach Lambda um erhält man Lambda = 2 L / n.
Setzt man diesen Ausdruck ein erhält man
E = h2 / 8 mal L2 mal m mal n2.
Die Energie hängt bei einer festen Breite L des Potentialtopfes nur von der Quantenzahl n ab, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann (1, 2, 3 ...). Dies führt zu diskreten, gequantelten Energieniveaus für das Elektron.
Setzt man eine Länge L in der Größenordnung des Durchmessers eines Wasserstoffatoms (ca. 10−10 m) ein, ergeben sich Energiewerte, die zwar nicht exakt den realen Energien im Wasserstoffatom entsprechen, jedoch eine vergleichbare Größenordnung haben. Entscheidend an diesem Modell ist, dass durch die Beschreibung des Elektrons als stehende Welle automatisch diskrete Energiewerte resultieren.
Das Modell kann außerdem Energieübergänge veranschaulichen: Durch die Absorption oder Emission von Energie kann das Elektron im Potentialtopf zwischen verschiedenen Zuständen wechseln. Mithilfe der Formel lassen sich die Energien berechnen, die für solche Übergänge benötigt werden, oder die freigesetzt werden, wenn das Elektron von einem höheren auf ein niedrigeres Energieniveau fällt.
Der eindimensionale Potentialtopf ist ein anschauliches Lehrmodell und ein wertvolles Werkzeug zur Vermittlung zentraler Konzepte der Quantenmechanik, das den Grundstein für komplexere Modelle legt, die für reale physikalische Systeme erforderlich sind.