КЛАССИКА! РЕШИЛ ЗА 3 МИНУТЫ! (Оригинал)

ABCD - квадрат, т. M на AB, т. K на AD, AM=MB, AK:KD=2:1, S(KFCD)=69. Найти длину стороны квадрата.

[spase]

Класс!
Главное даже не решение, а Ваш порыв (энтузиазм)!!!
Это гениально!!!!
Все бы учителя были б такими!!!

[Alexander--]

Не стал изобретать никаких велосипедов, а просто записал уравнения красной и зелёной прямой:
y = a/2 + x/2
y = a - 3x/2
Сторону квадрата я переобозначил через a, чтобы x обозначала абсциссу, чтоб не путаться. При этом использовал уравнение прямой, приходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
В пересечении получил x = a/4. Это высота треугольника слева-сверху, его основание a/2, а площадь a²/16. Площадь, занимаемая обеими треугольниками, равна сумме их площадей минус площадь пересечения, т.е. (1/2)a•a/2 + (1/2)•a•(2a/3) - a²/16 = 25a²/48.
Жёлтая площадь равна площади квадрата минус найденная площадь: S = a² - 25a²/48 = 23a²/48 = 69. Числа 23 и 69 прекрасно сокращаются, отсюда a² = 3•48 = 144, a = 12, и это ответ.

[НатальяЖуравлёва-чл]

Это гениально! Спасибо за такую красивую задачу. Если честно, мне приятно слушать Ваш голос.) Не знаю почему, но он мне нравится.)) Продолжайте нас радовать задачами по геометрии!

[-wx--]

Продлим CM до пересечения с продолжением AD в точке C₁ (что равносильно повороту △BCM относительно M на 180°).
BC:C₁K = 3:5 ⇒ высота △C₁FK из вершины F равна ⅝x (из △BCF~△KC₁F), а площадь 25⁄48x² (т. к. C₁K = x+⅔x = 5⁄3x), откуда S[CDKF]=x²−25⁄48x²=23⁄48x²=69 (из равновеликости △CC₁D квадрату), значит x²=69·48/23=144 и x=12.

[Alexander-Ufa]

С подачи уважаемого Автора, проверим теорему Пика.
(Площадь многоугольника) = (Узлы решётки внутри)
+ (Узлы на границе) / 2 – 1

Нужно, чтобы все изначальные прямые – пересекались в узлах решётки. Поэтому (AB)=6 мало. Надо, чтобы (F) – попала в узел, для этого (AB) должно делиться на 3 & 4 & (2*4), min = 24. S(ABCD)=576,

(Граница FCDK)
= 8+24+9+5=46

Для подсчёта (Внутри FCDK) – режем (FCDK) горизонталью от (F), и подсчитываем сумму двух арифметических последовательностей. Итог:

(Внутри FCDK)=81+173=254,
S(FCDK)=254+46/2–1=276,
S(FCDK) / S(ABCD) = 276/576 = 23/48

А ведь совпало!

[tsaiis]

Очень интересная задача, в стиле Вашего канала! Ну, у меня трех минут никак не получилось, не знаю, может где-то в предгорьях Фудзиямы, где раб. время измер-т в сек, а территорию в кв.см, сумеют просчитать в три минуты ...
Итак, во-первых В(К)Н х С(D)H в тчк Н, тр-ки MFB и CFH подобны(очевид). TgDKH=3/2, сл-но, DH=x/2. Высоты этой пары тр-ков TF и FE относятся 1:3(коэф.подоб.тр-ков), TF=x/4, FE=3/4*x. Отсюда:
Shfc--Skdh=69.Те, х=12. Skfcd:Sabcd=69:144

[YardenVokerol]

Построим слева такой же квадрат. Прямая MC пройдёт через его левый нижний угол T.
S(TCD)=S(ABCD)=x²
∆TFK∾∆CFB,
Основание TK=5x/3,
k=TK/BC=(5x/3)/x=5/3.
Обозначим высоту FH=h, тогда высота ∆CFB будет 3h/5, а общая высота
h+3h/5=8h/5=x, h=⅝x.
S(TFK)=½•⅝x•(5x/3)=25x²/48.
=23x²/48≝69=3•23
x²=3•48=144, x=12

[pojuellavid]

Продлил ВК и СД до пересечения в т Е. Принял плошадь квадрата за 36 долек, тогда площадь треугольника ВСЕ =27 долек, площадь трапеции ВСДК =24 дольки, треугольника АВК =12 долек, ВСМ=9. Ну в принципе, задача решена.
1. Т.к. (далее -- площади) ВСДК+ВFC больше ВМF+BFC на 15 долек, то пусть ВМF =х долек, тогда ВСДК= х+15д, а ВСЕ=х+18д.
2. ВМF/ВСЕ=1/9. Окуда х=9/4д, желтая = 69/4д. . Одна долька =4.Площадь квадрата =36*4=144
Ответ:12.
Долго, муторно, но сам. И главное -- нигде не сбился, почему-то.
Посмотрю, что у вас

[adept]

И я за 3, ведь это моя любимая задача, поэтому есть свой метод.
МР // ВС (Р - на ВК). МР = 1\3 от ВС, МF = 1/4 от МС. S(BFC) = 3/4 от S(MBC) = 3/16.
S(бел.) = (1/3 + 3/16) от S(АВСD) = 25/48. S(жёлт.) = 23/48. S(АВСD) = 144, х = 12.
Подробности по требованию.

[PavelOstafiy]

S(ABK)=1/3×Sкв
S(MBC)=1/4×Sкв
S(MBF)=1/4×S(MBC)=
1/16×Sкв
S(KFCD)=(1-(1/4+1/3-1/16))×
Sкв=23/48×Sкв
Sкв=69÷23/48=144
x=12
Многого не написал, подобия например.

[Alexander-Ufa]

Ещё один способ.
Поворот ∆(MBC) вокруг (M) на 180. (E) – новое положение (C), это пересечение (MC)&(AD), S(∆ECD)=S(ABCD).

(BC) – делим на 3, как (AD), точки деления обоих – соединяем прямыми, || (BK). Примененяем теорему Фалеса к углам (MCB) & (CED) => (MF)/(FC) =1/3.

Находим отношения площадей ∆EFK & ∆ECD, через отношение их сторон.

(EF)/(EC)=(4+1)/(4+4)=5/8
(EK)/(ED)=(3+2)/(3+3)=5/6,
откуда
S(∆EFK)/S(∆ECD)=25/48,
S(FCDK)/S(ABCD)=23/48

[YardenVokerol]

Через подобие найти пропорции красной линии оказалось проще, но тем не менее...
Пусть искомое BC≝a,
Тогда A=A(0, 0), B=B(0, a), C=C(a, a), K=K(⅔a, 0), M=M(0, ½a).
Найду F=(MC)∩(BK).
(MC)ₘ: (x-0)-2(y-½a)=0, x=2y-a
(BK)ₖ: (x-⅔a)+⅔(y-0)=0, x=⅔a-⅔y,
2y-a=⅔a-⅔y, 8y/3=5a/3,
y=⅝a, x=2y-a=¼a.
Пусть G: (MG) || (AD), тогда из [MC], [MG] по Фалесу:
|MF|=¼|MC|, |FC|=¾|MC|

S(BCDK)=(a+⅓a)/2•a=⅔a²

=a²•23/48≝69=3•23
a²=3•48=144, a=12

[AlexeyEvpalov]

Отношение площадей это квадрат коэффициента подобия, то есть k=√(69÷69/4)=2, тогда сторона 6×2=12.

[alexeychernyshev]

Способ 2.
1. Продлеваем BK до пересечения с CD в точке Р. Из подобия тр-ков PBC и PKD получаем, что PD=x/2
2. Из подобия тр-ков BFM и PFC получаем (с учётом пункта 1), что MF:FC как 1:3 Пусть MF=n, тогда по теореме Пифагора из тр-ка MBC получаем, что n=x*sqrt(5)/8
3. Проводим CK (попутно вычислив CK по т. Пиф-а из тр-ка CKD: x*sqrt(10)/3) и замечаем, что tgBCM=1/2, a tgKCD=1/3. Отсюда по ф-ле тангенса суммы получаем, что угол FCK=45 гр.
4. Площадь жёлтой фигуры равна сумме площадей двух тр-ков (CKF и CKD): 69=x^2/6 + (1/2)*3n*x*sqrt(10)/3*sin 45 или 69=x^2/6 + Упрощая, получаем: x^2 = 69*96/42 = 144. Отсюда x=12

[rv]

А я таки проголосую за Менелая. Но сначала проведу СК, и из АК:КD = 2:1 следует, что площадь CKD будет 1/6 площади квадрата, при этом площадь т. ВСК будет 1/2 площади квадрата.
Теперь СМ продлю до пересечения с продолжением AD пусть в точке С1, поскольку М середина АВ, то С1А будет равно стороне квадарата. АК:AD = 2/3 => C1A:C1K = 3:5 и вот теперь через Менелая получаем BF:FK = 3:5.
Итого:
Площадь CKD = 1/6 площади квадрата
Площадь CFK = 5/8 от 1/2 площади квадрата = 5/16 площади квадрата
Площадь FCDK = 1/6 + 5/16 = 23/48 площади квадрата

[bortnickoff]

Сумма площадей двух треугольников (АВК и ВМС) и двух трапеций (АМСД и ВСДК) является удвоенной площадью квадрата. Потому что каждый из четырех пересекающихся кусочков (АМФК МВФ ВСФ ФСДК) дважды входит. Далее берем половину от суммы площадей и корень для получения стороны квадрата

[ОлегПолканов-дн]

Решил от обратного считать.
Если из квадрата вычесть все треугольники будет наш искомый четырёхугольник.
Но не абсолютными значениями а отношениями.
Треугольник у которого красная гипотенуза это 1/4 квадрата.
Треугольник у которого зелёная гиппотенуза это 1/3 квадрата (высота такая же как у квадрата, а основание составляет 2/3, тогда 1/2*2/3 = 1/3).
А вот как выразить маленький треугольник ещё не придумал.
Пока площадь четырехугодьника это площадь квадрата - 1/4 площади квадрата и -1/3 площади квадрата + площадь треугольничка.

[galinaberlinova]

По т. Минелая KF/BF*BM/MA*AE/EK=1. Е - точка пересечения СМ и АД. Значит KF/BF=5/3. S(BCK)=1/2* S(ABCD), S(FCK) = 1/2*5/8*S(ABCD). S(CKD)=1/3*1/2*S(ABCD). Значит площадь четырехугольника FCDK будет равна сумме площадей треугольников CKD и FCK, то есть ( 5/16 + 1/6)*S(ABCD)=23/48*S(ABCD). Значит Сторона квадрата 12.

[АнатолийВикторов-хл]

Введём систему координат: точка А начало; ось ОХ вдоль АD; ось ОУ вдольАВ.
KD=а--единичный отрезок.
Тогда: АК=2а; АD=3a; AM=(1/2)*AB=1, 5a.
K(2a; 0); M(0; 1, 5a); B(0; 3a); C(3a; 3a)---координаты точек.
прямой по двум точкам.
1). (х-0)/3а-0)=(у-1, 5а)/(3а-1, 5а); 2у=х+3а---уравнение прямой проходящей через точки М и С.
2). (х-0)/(2а-0)/(у-3а)/(0-3а); 2у=-3х+6а---уравнение прямой проходящей через точки В и К.
Решаем систему двух уравнений:
х=3а/4; у=15а/8; F(3а/4; 15а/8)--координаты точки F.
Проведём отрезок DF, получили два треугольника ∆DFK и ∆CDF.
Проведём FP⊥AD и FN⊥CD;
FP--высота ∆DFK; FP=y(F)=15a/8;
S(DFK)=(1/2)*DK*FP; S(DFK)=15a²/16.
FN=AD-x(F); FN=3a-(3a/4)=9a/4.
S(CDF)=(1/2)*CD*FN; S(CDF)=27a²/8.
S(CDFK)=S(DFK)+S(CDF); 69=15a²/16+27a²/8; a=4; AD=3a: AD=3*4=12; AD=12.
Ответ: 12.

[stvcia]

Пусть сторона квадрата а. Уравнения секущих относительно точки А: у=х/2+a/2, y=-3x/2+a. Точка пересечения F= (a/4, 5a/8). Высота треугольника BFC=3a/8, а его площадь 3a^2/16. Вычитаем ее из площади трапеции 2a^2/3, получаем 23a^2/48=69, a=12