Le Rubik's cube et ses 43 252 003 274 489 856 000 positions - Myriogon #25

Ce soir, nous comptons le nombre de configurations possibles sur un Rubik's cube. Une jolie démonstration !

Des vidéos de Pierre Audin pour le Palais de la Découverte :

[leoblondet]

Très belle démonstration !!! Je vais l'utiliser pour mon oral de bac ^^ Merci beaucoup !! C'est vraiment bien expliqué et très clair.

[sourivore]

Probablement la meilleure vidéo de cette chaîne jusqu'à maintenant

[NoonShaK]

Sinon, combien y'a t'il de positions pour les cubes 4x4x4 ou 5x5x5 ou plus généralement nxnxn ?

[lebretonkilian]

J'ai une plus belle vision, par récurrence. Pour n+1 lignes et colonnes, on choisit une ligne et une colonne sur le petit carré précédent.
Il y a donc (n×n) possibilités.
Puis on fixe le côté de droite, il y a (n) lignes possibles. De même en fixant le côté d'en haut. Mais, on a compté 2 fois chaque rectangles. Donc, il y a n×n×n possibilités.
Donc c'est la somme des cubes avec la récurrence

[stopclasses]

Bonsoir Mr Launay
Pour le pourquoi du 1^3+2^3+3^3, ne serait-ce pas que pour un carré de 3 par 3
il y a 3 positions possible sur l'horizontal pour un rectangle (carré) de une unité de coté, et il y a l'horizontale, la verticale et la diagonale (3 dimensions) donc pour 1= 3^3, un rectangle de 2 toujours sur l'horizontal il y a 2 possibilités, soit 2^3 et 1 seule possibilité pour 3 alors 1^3.... Pour un carré de 4 unités de coté, il y aura 4 possibilités pour 1X1 = 4^3, 3 pour 2 de côté=3^3 et cetera. Maintenant est-ce que si on fait pareil pour un cube type rubik's cube, en rajoutant 1 dimension on aurait 3^4+2^4+1^4?

[lennoyl]

Concernant le terme pour "parité" avec 3, je verrais bien " 3k-rité " ( phonétiquement troikarité). Ainsi, ça marcherait aussi pour d'autre nombres que 3

[jnfcfa]

Bonjour, quelqu'un peut-il me dire quelle tablette graphique est utilisée avec quel logiciel? Merci

[Tharkun]

Sur mon premier (faux) Rubik's Cube, il y a des chiffres sur chaque carrés, en plus des couleurs (qui ne sont pas les couleurs standards). Les cubes centraux sont donc orientés, comme sur les cubes illustrés.
Et en plus, les chiffres ne sont pas disposés au hasard ou dans l’ordre croissant, mais ainsi :
8 1 6
3 5 7
4 9 2

[rinkio]

Pause à la 20e minute :


Pendant les explications avec les cartes de Uno, j'a décomposé 4, 2352…×10¹⁹ en facteurs premiers (ça peut toujours servir)
43 252 003 274 489 856 000 = 2²⁷×3¹⁴×5³×7²×11¹



Les dispositions des sommets sont 8!×3⁸ = (2⁷×3²×5¹×1¹) ×3⁸ = 2⁷×3¹⁰×5¹×1¹
Les dispositions des arêtes sont 12!×2¹² = (2¹⁰×3⁵×5²×7¹×11¹)×2¹² = 2²²×3⁵×5²×7¹×11¹
Le produit de ces deux nombres fait donc 2²⁹×3¹⁵×5³×7²×11¹


Ce nombre est = 2²×3¹ =12 fois trop grand


Il y aurait donc 11/12 des combinaisons qui sont impossibles
j'ai hâte d'en voir la démonstration

[arthurdevay]

QUID des cubes centraux qui sont tout le temps bien positionnés mais dont l’orientation change. Dans le cas où ces cubes ont des inscriptions ou images dessus, il y a quatre orientations possibles pour les six cubes centraux. Y aurait-il 4x6 positions possibles pour notre fameux Rubik’s Cube?

[baudouinmauger]

Parité ça vient de par- (latin qui vient de per (indo-européen) qui signifie échanger), qui signifie égal, semblable; -itas désigne un état, une condition.
Il n'y a rien qui désigne le fait que ça soit une relation binaire, donc le terme pourrait-être global en fait, non ?
Mais du coup il faudrait préciser par rapport à quel nombre on évalue la parité, et ça pourrait donner : 4 est pair avec 1 par rapport à 3; ou alors 6 est impair avec 2, par rapport à 3, avec une différence de 1; ou encore 17 est impair avec 9, par rapport à 5, avec une différence de 3.
Ce qui revient au modulo.

[shikagohan]

Rien de tel qu'une vidéo sur le dénombrement sur les positions du Rubik's Cube pour se détendre avant de dormir

[lebretonkilian]

Pour les rectangles, on fait par "récurrence", si on agrandis en haut et en à droite, Pour n lignes, on fixe le côté de droite, on choisit les autres côtés: (n×(n-1)/2)×(n-1) de même si on fixe le côté du haut. En enlevant les rectangless comptés deux fois : (n-1)×(n-1)
Ce qui donne (n-1)(n-1)(2n/2-1) =(n-1)aucube. Mais j'avoue que c'est pas très beaux.

[quentincorradi]

Pour prouver la somme des cubes = le carré de la somme dans ce problème il faut compter les rectangles qui ont un côté de longueur k et l'autre côté au moins aussi grand en partant de k = n, n étant la longueur du côté du carré;
Il y a n - k position du début du côté de longueur k et pour chaque position, tous les couples (positions, longueurs) légaux sur l'autre dimension fois 2 pour chaque orientation [sauf k qui n'a qu'une orientation] donc 2*(1 + 2 + ... + n - k - 1) + n - k = (n - k - 1)(n - k) + n - k = (n - k)².
Au final ça donne bien la somme des cubes, pour le moment je n'ai pas de dénombrement plus simple pour la somme des cubes...

[abawell]

Pour trouver géométriquement la somme des cubes, voici ce que je peux dire:
Si un prend le nombre de rectangles de hauteur 1, il peut avoir 3 largeurs différentes 1x1, 2x1, 3x1. 3 types de rectangles sur 3 lignes et 3 colonnes, donc 3x3x3 = 3^3 = 27 rectangles. Je dis 3 colonnes parce que les rectangles peuvent être tournés pour faire les rectangles de 1x1, 1x2 et 1x3
Pour les rectangles de hauteur 2, 2 largeurs possibles 2x2 et 3x2 (on exclu évidement le 1x2 puisque déjà traité avant). 2 types possibles sur 2 lignes possibles et 2 colonnes = 2x2x2 = 2^3 = 8
Pour le rectangle de hauteur 3. Une seule taille possible 3x3, sur 1 une ligne et une colonne = 1x1x1 = 1^3 = 1
On retrouve bien notre 1^3 + 2^3 + 3^3 = 36

[lennoyl]

mais est-ce que l'araignée épeire ?

[abderelamri]

On sait que S(n) = (n(n+1)/2)^2
On suppose que S(n) = somme des cubes de 1 à n
On calcul s(n+1)-S(n) selon la formule plus haut et on trouve le résultat après développement et simplification
Raisonnement classique sachant que S(3)=1+2^3+3^3

[kuuluitre]

Petite démo dénombrement rectangles dans une grille nxn :

[raphaelcourtot]

Bonjour j'ai bien envie de participer aux concours kangourou est-ce que quelqu'un pourrait me dire comment faire ? (j'avais cru comprendre que Mickael Launay allait nous donner des "codes" mais je ne les ai pas trouvé ni entendu merci)