Задача с параметром | Задача 18 на ЕГЭ по математике |

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ на высокие баллы с любого уровня в нашем московском центре: [phone]

Образовательная компания ЕГЭ-Студия:

[phone], [phone] (бесплатный звонок по России)
г. Москва, м. Пушкинская/Чеховская/Тверская, ул. Страстной бульвар, д. 16.

Звоните, пишите, спрашивайте!

При каких значениях параметра а область значения функции y(x) = (Sin x + a)/(Cos 2x - 2) содержит число 2?

Задача с параметром из сборника Ященко, задание 18 Профильного ЕГЭ по математике. Одна из самых сложных задач варианта ЕГЭ. Учимся решать параметры - и сдаем ЕГЭ на сотку! Изучаем сборники Ященко - в них могут быть задачи похожие на ЕГЭ-2020

[ЕленаПашкова-эч]

Хорошая задача именно тем, что ее можно решить многими способами: аналитическим с Дискриминантом; с помощью производной; графически несколькими способами. Ваш способ хорош. Хотелось бы решение целиком на доске увидеть в конце на небольшой паузе, если можно, а рекламу ваших замечательных курсов и Ваше прекрасное фото уже потом.

[nikitaokhotnikov]

Всё проще: a=4t^2+t+2, при -1≤t≤1. У любой непрерывной на данном отрезке функции максимумы и минимумы на данном отрезке лежат либо в его границах, либо в экстремумах. Тогда подставляем t=1;-1;-1/8 и получаем границы изменения a.

[МайяСаттарова-ме]

Можно проще. Найдем область изменения функции а(х) при у=2. Функция периодическая. Следовательно, от значения мин до значения мах, которые находим с помощью производных.

[davowa]

Предложенный автором способ понравился, возьму его на вооружение. Спасибо

[СергейИванович-оп]

Как быстро Вы стали объяснять, отлично

[DREGOchannel]

Скажите пожалуйста, как вы получили корни уравнения : t1=0 и t2=-1/4?

[davowa]

Итак, уравнение 4t^2+t+a+2=0 должно иметь решение на [-1, 1]. Можно было рассмотреть график функции y=4t^2+t+a+2 в Oty - плоскости. Вершина параболы определена, t0=-1/8, y0=y(-1/8)=a + 31/16: Вершина(-1/8; a + 31/16). Заметим, что чем больше (a+2), тем выше правая ветвь пересекает ось Oy, а следовательно и парабола уже. Парабола симметрична. Точка t=-1 ближе, чем t=1. Если левая ветвь попадает на t=-1, то левая ветвь проходит через корень 1 - 2/8 = 0.75. А значит, это не самый худший случай, а если правая ветвь проходит через корень t=1, а левая ветвь через t=-1 - 2/8 = -1.25, то есть слева подходящего решения нет. Чуть шире взять, корней на [-1; 1] не будет, так как вся парабола не будет пересекает нужный отрезок [-1; 1]. То есть подставляем t=1 в уравнение 4t^2+t+a+2=0, получаем а = -7, это первое крайнее значение. Ветви параболы вверх, то есть нам также необходимо, чтобы решение было в принципе, как таковое, а значит случаи, когда парабола выше оси Оt нам не благоприятствует. Достаточно сказать, что вершина параболы лежит ниже оси Ot. То есть a + 31/16 <=0. Таким образом a<= -31/16, это второе крайнее значение. Все рассуждения учитывают всевозможные варианты положений параболы y=4t^2+t+a+2 на плоскости. Ответ: -7<=a<=-31/16.

[АлексСарказав]

Здравствуйте! Почему Cos2x мы меняем на 1-2sin(x)^2? Объясните пожалуйста .