filmov
tv
Γεωμετρική μέθοδος ευθειοποίησης Νο2
Показать описание
Πρόβλημα 2
Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και επί των πλευρών τουΑΒ,ΒΓ,ΓΔ,ΔΑ τα σημεία Ρ,Λ,Μ,Ν, αντιστοίχως.
Με σταθερό το Ρ και τα Λ,Μ,Ν, μεταβλητά, να βρεθεί η θέση των σημείων Λ,Μ,Ν, που ελαχιστοποιούν την περίμετρο του τετραπλεύρου ΡΛΜΝ.
Ανάλυση: (Με λογική ευθειοποίησης, όπως και λογική «στιγμιαίως σταθερού μεταβλητού σημείου» )
(Α)
Θεωρώ προς στιγμήν σταθερό το Μ.
(Β)
Βρίσκω τα συμμετρικά των ΡΝ και ΡΛ, ως προς ΑΔ,ΒΓ, αντιστοίχως.
Βελτιστοποιώ τις θέσεις των Ν και Λ βάζοντάς τες πάνω στο σημείο τομής ΑΔ και ΜΖ, όπως και ΒΓ και ΘΜ, αντιστοίχως (βλέπε ανάρτηση στο παρόν αποθετήριο «ΙΦΙΓΕΝΕΙΑ» με τίτλο «νόμοι ανάκλασης φωτός και ευθειοποίηση»)
ΑΡΑ (ισοδυνάμως) :
Πρέπει να βελτιστοποιηθεί το άθροισμα:(ΖΝΜ)+(ΜΝΘ) όπου Ζ,Ν,μ συνευθειακά, Μ,Λ,Θ, συνευθρειακά.
Μέχρι στιγμής, το Μ θεωρήθηκε σταθερό ενώ δεν είναι.
(Γ)
Βρίσκω το συμμετρικό του Θ, ως προς ΓΔ, που είναι το το Η. Έτσι -«στιγμιαία»- το ΜΛΘ (συνευθειακά) μεταφέρεται στο ΜΗ
(Δ)
Βελτιστοποιώ την θέση του Μ , βάζοντάς το πάνω στο σημείο τομής των ΖΗ και ΓΔ.
Με αυτή την κίνηση «χαλάνε» οι ήδη βελτιστοποιημένες θέσεις των Ν,Λ , τις οποίες επαναβελτιστοποιώ.
Έτσι κλειδί της απόδειξης θα είναι η τριγωνική ανισότητα.
Κατασκευή:
(1) Βρίσκω το συμμετρικό του Ρ ως προς ΑΔ, το Ζ
(2) Βρίσκω το συμμετρικό του Ρ, ως προς ΒΓ, το Θ.
(3) Βρίσκω το συμμετρικό του Θ, ως προς ΓΔ, το Η.
Όλα τα ευρεθέντα συμμετρικά σημεία, είναι σταθερά κατά θέση, εφ΄όσον το αρχικό Ρ και οι άξονες συμμετρίας είναι σταθεροί.
(4) Φέρω την ΖΗ, που τέμνει δύο πλευρές στα Μ, Ν, για τα οποία ισχυρίζομαι ότι είναι τα βελτιστοποιούντα.
(5) Φέρω την ΜΘ και ορίζεται και το Λ, που είναι και το τελευταίο βελτιστοποιόν.
Απόδειξη:
(1) Οποιαδήποτε απομάκρυνση του Ν από την ορισθείσα θέση δημιοτργεί παραπάνω περίμετρο.
(2) Οποιαδήποτε απομάκρυνση του Λ, δημιουργεί παραπάνω περίμετρο.
(3) Πάμε τώρα στο Μ. Οποιαδήποτε απομάκρυνση του Μ, δημιουργεί παραπάνω περίμετρο.
Όλα αυτά με την τριγωνική ανισότητα ως κριτήριο.
Άρα οι κατασκευασθείσες θέσεις των Λ,Ν,Μ, είναι οι βελτιστες για ελάχιστην περίμετρο.
Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και επί των πλευρών τουΑΒ,ΒΓ,ΓΔ,ΔΑ τα σημεία Ρ,Λ,Μ,Ν, αντιστοίχως.
Με σταθερό το Ρ και τα Λ,Μ,Ν, μεταβλητά, να βρεθεί η θέση των σημείων Λ,Μ,Ν, που ελαχιστοποιούν την περίμετρο του τετραπλεύρου ΡΛΜΝ.
Ανάλυση: (Με λογική ευθειοποίησης, όπως και λογική «στιγμιαίως σταθερού μεταβλητού σημείου» )
(Α)
Θεωρώ προς στιγμήν σταθερό το Μ.
(Β)
Βρίσκω τα συμμετρικά των ΡΝ και ΡΛ, ως προς ΑΔ,ΒΓ, αντιστοίχως.
Βελτιστοποιώ τις θέσεις των Ν και Λ βάζοντάς τες πάνω στο σημείο τομής ΑΔ και ΜΖ, όπως και ΒΓ και ΘΜ, αντιστοίχως (βλέπε ανάρτηση στο παρόν αποθετήριο «ΙΦΙΓΕΝΕΙΑ» με τίτλο «νόμοι ανάκλασης φωτός και ευθειοποίηση»)
ΑΡΑ (ισοδυνάμως) :
Πρέπει να βελτιστοποιηθεί το άθροισμα:(ΖΝΜ)+(ΜΝΘ) όπου Ζ,Ν,μ συνευθειακά, Μ,Λ,Θ, συνευθρειακά.
Μέχρι στιγμής, το Μ θεωρήθηκε σταθερό ενώ δεν είναι.
(Γ)
Βρίσκω το συμμετρικό του Θ, ως προς ΓΔ, που είναι το το Η. Έτσι -«στιγμιαία»- το ΜΛΘ (συνευθειακά) μεταφέρεται στο ΜΗ
(Δ)
Βελτιστοποιώ την θέση του Μ , βάζοντάς το πάνω στο σημείο τομής των ΖΗ και ΓΔ.
Με αυτή την κίνηση «χαλάνε» οι ήδη βελτιστοποιημένες θέσεις των Ν,Λ , τις οποίες επαναβελτιστοποιώ.
Έτσι κλειδί της απόδειξης θα είναι η τριγωνική ανισότητα.
Κατασκευή:
(1) Βρίσκω το συμμετρικό του Ρ ως προς ΑΔ, το Ζ
(2) Βρίσκω το συμμετρικό του Ρ, ως προς ΒΓ, το Θ.
(3) Βρίσκω το συμμετρικό του Θ, ως προς ΓΔ, το Η.
Όλα τα ευρεθέντα συμμετρικά σημεία, είναι σταθερά κατά θέση, εφ΄όσον το αρχικό Ρ και οι άξονες συμμετρίας είναι σταθεροί.
(4) Φέρω την ΖΗ, που τέμνει δύο πλευρές στα Μ, Ν, για τα οποία ισχυρίζομαι ότι είναι τα βελτιστοποιούντα.
(5) Φέρω την ΜΘ και ορίζεται και το Λ, που είναι και το τελευταίο βελτιστοποιόν.
Απόδειξη:
(1) Οποιαδήποτε απομάκρυνση του Ν από την ορισθείσα θέση δημιοτργεί παραπάνω περίμετρο.
(2) Οποιαδήποτε απομάκρυνση του Λ, δημιουργεί παραπάνω περίμετρο.
(3) Πάμε τώρα στο Μ. Οποιαδήποτε απομάκρυνση του Μ, δημιουργεί παραπάνω περίμετρο.
Όλα αυτά με την τριγωνική ανισότητα ως κριτήριο.
Άρα οι κατασκευασθείσες θέσεις των Λ,Ν,Μ, είναι οι βελτιστες για ελάχιστην περίμετρο.