Аржанцев И. В. - Алгебра. Часть 1 - Кольцо и поле

0:04:15 1. Кольцо
0:26:13 2. Обратимость элемента
0:34:12 3. Делитель нуля
0:42:30 4. Нильпотент
0:45:13 5. Поле
0:51:45 6. Теорема об условии существования поля вычетов
1:15:58 7. Если характеристика поля равна p, (a+b)^p = a^p + b^p, a,b - элементы поля
1:24:13 8. Малая теорема Ферма

[MinisterDorado]

4:05 Определение. Кольцо. Это множество (rink - R) (R, +, °) с двумя бинарными операциями, но это абстрактные операциями. Относительно операции + это должна быть абелева группа. Относительно умножения - ничего. Связь умножения и сложения - дистрибутивность. a(b+c)=ab+ac. (b+c)a=ba+ca.
7:35 Следствие. 0°а=а°0=0. 0 это нейтральный элемент по сложению. Для доказательства воспользоваться дистрибутивностью для нуля. Прибавление обратного элемента по сложению.
13:00 Аксиомы на умножение. 1. Кольцо ассоциативно. a(bc) = (ab)c. 2. 1a=a1=a.
14:50 Кольца бывают коммутативными, если выполнена коммутативность по умножению.
15:45 Примеры. Кольца.
18:05 Пример. Кольцо функций.
23:20 Объяснение подхода математики. Кольца.
25:08 Вычеты.
26:08 Определение. Обратимый элемент. Обратимый относительно операции умножения. Потому что по операции сложения все обратимы по определению.
29:17 GLn. Множество General Linear. Множество невырожденных матриц размера n.
34:11 Опрделение. Делитель нуля. Элемент делитель нуля, если он сам не равен нулю и существует элемент из кольца не равный нулю и их произведение равно нулю. Левый делитель и правый делитель.
42:28 Определение. Нильпотент. Ненулевой элемент из некоторого множества, возведенный в некоторую степень становится равными нулю.
45:09 Определение. Поле. Коммутативной кольцо, в котором в котором любой ненулевой элемент обратим.
49:12 Примеры полей.
51:57 Теорема 17. p - prime простое число.
1:05:55 Определение характеристика поля F. Наименьшее натуральное p такое, что единица сложенная с собой p раз даёт ноль. Если такого p не существует, то говорят, что характеристика равна нулю. Обозначение - char.
1:11:15 Предложение 6. Для любого поля F либо характеристика равна нулю, либо характеристика равна p - простое число (натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя).
1:15:32 Предложение 7. Если характеристика поля F = p, то (a+b)^p =a^p + b^p.
1:24:26 Малая теорема Ферма.

[MinisterDorado]

40:40 А те, кто допустит в жизни глобальную ошибку и пойдет на кафедру алгебры, он вообще про это всю жизнь будет говорить.
46:40 Почему называется полем? Каждый кто был в поле это понимает.
49:00 Целые числа и поле. "Над полем целых чисел".

[ЮсуфЮсупов-ло]

Здравствуйте, спасибо большое за лекцию? Есть ли семинары по этим темам?