Goniometrische vergelijkingen - Mr. Chadd Academy

Goniometrische vergelijkingen - Mr. Chadd Academy

Goniometrische vergelijkingen als sin(x)=c of cos(x)=c

Ten eerste zijn er vergelijkingen van de vorm sin(x) = c of cos(x) = c, zoals sin(x) = ½√2. Dit los je op door op de exacte-waarden-cirkel te kijken waar de sinus gelijk is aan ½√2. Je kan op de cirkel zien dat dit het geval is bij x = ¼ en x = ¾π. Als je één keer de cirkel rond bent gegaan, kom je weer op een x uit waar de sinus gelijk is aan ½√2. Omdat de omtrek van de exacte waardencirkel 2π is, betekent dit dat je het antwoord noteert als x=¼π + 2kπ V x=¾ + 2kπ. Hier is k een heel getal, dat ervoor staat hoe vaak je de cirkel rond bent gegaan.

Meestal is de vergelijking een stukje ingewikkelder. Een voorbeeld hiervan is 6 cos(2x) + 2 = 5.

In dat geval moet je rekenregels volgen en dit eerst schrijven als 6 cos(2x) = 3 en daarna als cos(2x) = ½. Vervolgens kan je kijken waar de cosinus gelijk is aan ½: dit is bij 1/3π en 1 2/3π.

Je krijgt dan dus 2x = 1/3 + 2kπ V 2x = 1 2/3 π + 2kπ.
Delen door 2 geeft dus het antwoord x = 1⁄6 + kπ V x = 5⁄6π + kπ.

Goniometrische vergelijkingen met een kwadraat

Soms kom je ook goniometrische vergelijken tegen met een sinus of cosinus in het kwadraat. Als deze van de vorm sin2(x) = c is, is het antwoord sin(x) = √c of sin(x) = -√c (en hetzelfde voor cos2(x)). Zo is sin2(x)= ¾ te vereenvoudigen tot sin(x) = ½√3 V sin(x)= -½ √3.

Als je goniometrische vergelijking van de vorm a sin2(x) + b sin(x) + c = 0 is (weer hetzelfde met de cosinus), moet je een substitutie gebruiken. Zo krijg je een formule van de vorm a u2+ b u + c = 0. Deze kan je dan oplossen als een ‘gewone’ kwadratische vergelijking, met de product-som-methode of de abc-formule.

Een voorbeeld van zo’n vergelijking is cos2(x) + 1½ cos(x) +½ = 0. De substitutie cos(x) = u leidt dan tot u2+ 1 ½ u + ½ = 0. Dit kan je oplossen met de product-som-methode: (u+1)(u+½) = 0. Dit geeft u = -1 V u= -½, dus cos(x) = -1 V cos(x)= -½. Dit kan je weer oplossen door te kijken naar de exacte waardencirkel: Je vindt dan x = π + 2kπ V x= 2⁄3 + 2kπ V x = 1 1⁄3 π + 2kπ.

Meer weten over goniometrische vergelijkingen? Check de Academy:

Kijk ook eens op: