Métodos B - Vídeo 4 - Coordenadas Curvilíneas

Resolvemos o problema de Sturm-Liouville não homogêneo com condições iniciais não homogêneas, seguindo as notas de aula de Paulo Miranda, depois explicamos como achar o operador nabla em coordenadas curvilíneas, visando tratar da Equação de Helmholtz.

Vou publicar uma série de vídeos para o curso de Métodos em Física Teórica B (Física Matemática 2), do Instituto de Física da Universidade Federal da Bahia, por ocasião do semestre suplementar, online, por conta da pandemia de 2020.
Como o curso será mais compacto que o normal, vou centrar no problema de Sturm-Liouville e daí chegar nas equações de Bessel e Legendre, destacando a importância da relação do problema de Sturm-Liouville com expansões em séries.
O pré-requisito é conhecimento de integrais, derivadas e produtos vetoriais, ou seja, Cálculo 1 a Cálculo 4, e Álgebra Linear.
Meu nome é Gildemar Carneiro dos Santos, fiz graduação e mestrado no IF da USP, e mestrado e doutorado na Universidade de Nagoya, no Japão. Ensino na UFBa desde 1994.

[Luqueuris]

Gildemar, em 21:46 a transformação inversa não seria u = x-y não?

[Luqueuris]

Uma sugestão que pensei revendo o vídeo aqui [e em discussão no grupo da galera que tá no curso] e que vou deixar aqui pra talvez ajudar alguem no futuro é: Em 11:48 a matriz P pode ser pensada também como sendo o produto entre uma matriz P' [formada só pelos elementos P_ki] e uma matriz diagonal h [cujos elementos são os h_k]. Dessa forma temos P = P'h, ou seja:

[h_1 P_11 h_2 P_12 h_3 P_13] [P_11 P_12 P_13] [h_1 0 0]
[h_1 P_21 h_2 P_22 h_3 P_23] = [P_21 P_22 P_23] [0 h_2 0]
[h_1 P_31 h_2 P_32 h_3 P_33] [P_31 P_32 P_33] [0 0 h_3]

Onde:

[P_11 P_12 P_13] [h_1 0 0]
P' = [P_21 P_22 P_23] ; h = [0 h_2 0]
[P_31 P_32 P_33] [0 0 h_3]
Pra completar, só a título de curiosidade mesmo, nesse caso poderíamos escrever o produto PH = 1 como sendo:

P'hH = 1

Espero não estar só complicando as coisas, mas isso é no mínimo algo interessante :]

[Luqueuris]

Ah, e só mais uma curiosidade, pra quem tiver pegando métodos e/ou revisando e tiver interesse: Se não me falha a memória, a matriz P_ik formada pelo produto dos versores l_i . l_k é uma espécie de tensor métrico!. Basicamente, dado o sistema de coordenadas com as coordenadas l_j, o Produto Interno entre dois vetores A = A_k e B = B_i quaisquer nesse sistema de coordenadas [ou nessa variedade cuja métrica é essa dada] é dado por APB = Soma em k, i de A_k P_ki B_i. Queria ter estudado Métodos antes de Mecânica 2, porque isso aqui ajuda muito a tratar algumas coisas de lá [aquela coisa de geodésicas e tal inclusive]!

Exemplo:
A = [a1, a2] = a1 l1 + a2 l2; B = [b1, b2] = b1 l1 + b2 l2
A.B = [a1 l1 + a2 l2].[b1 l1 + b2 l2] = a1 b1 l1.l1 + a1 b2 l1.l2 + a2 b1 l2.l1 + a2 b2 l2.l2
= a1 b1 P11 + a1 b2 P12 + a2 b1 P2l1 + a2 b2 P22 = [a1 a2] [P11 P12] [b1]
[P21 P22] [b2]
Onde P12 = P21, pois l1.l2 = l2.l1 [propriedade de simetria do produto interno]

[donizetenunes]

Boa tarde, queria que se puder por favor me sane a seguinte dúvida: Quando estamos integrando uma função para calculo de uma grandeza por exemplo, o potencial elétrico a soma feita pela integral será somente sobre as componentes dos vetores? Logo o calculo da integral não interfere na densidade de carga que gera o potencial, ela soma apenas a parte geométrica ou estou equivocado?