В ЧЕМ СИЛА, БРАТ? В ГЕОМЕТРИИ!

ABCD - квадрат со стороной 8, точка K на дигонали, M на стороне CD, угол KAM=45, CM=2. Найти S(AKM).

[AlexeyEvpalov]

Красивое, подробное решение. Спасибо.

[alexnikola]

да, с окружностью классная фишка) браво!

[sergeybezhenov]

Спасибо тренеру! Кто на канале давно, уже знает этот тип задач, поворачиваем!!!
АДМ вокруг А против часовой на 90 градусов. При этом т.Д переходит в т.В, а т.М – в т. М1 на продолжении ВС влево. Тр-к М1АМ – равнобедренный прямоугольный с боковой стороной 10, основанием 10√2 и высотой 5√2. Нас интересует только половина этой площади = 25.

[ВячеславФоминых-рг]

Как бы это все запомнить?Буду записывать для внуков.С уважением, Славик.55 лет😂
Валерий, спасибо.Около года сижу на Вашем кокаине.Даже бегать по вечерам начал.

[valeraag]

Нажал на Вашу синюю ссылку и подписался на Наглядную Геометрию. Дело на 5 секунд.

[tsaiis]

Полезная задача! Чего только не нашёл в этом чертеже! Пока не разыскал в интернете этот лукавый признак описанного 4угольника через равные "вписанные" углы к виртуальной хорде! Дальше -- элементарно: АМ=10, АК=КМ=5\/2. Sakm=25😪

[arbo]

Буду краток. S = 8×8 -- (1+4×7/2+6×8/2) = 25. Поздравляю уважаемого мэтра с новым каналом!

[galinaberlinova]

Красиво! Я решила через подобие. Спасибо!

[FastStyx]

А мы не ищем легких путей. Ставим начало координат в вершину А, абсцисса - AD, ордината AB. Находим уравнение прямой AM, от неё - уравнение прямой АK (как повёрнутой на угол PI/4), потом находим уравнение прямой BD, и координаты точки пересечения K. Далее находим длину AK, AM (по теореме Пифагора) и искомую площадь, как площадь треугольника с известными двумя сторонами и углом между ними.
Решение получается слишком громоздкое. Куда сложнее, чем предложенное. Но, до простого я не додумался.

[alexeychernyshev]

Конечно, через окружность просто блестящее, аристократическое решение!!!
Альтернативное решение (скучное).
1. Диагонали ч-ка AKMD пересекаются в т. О. Тогда из тр-ка ADM: AM равно 10, а АО и ОМ - 40/7 и 30/7, соответственно (по св-ву биссектрисы OD).
2. По ф-ле биссектрисы, или по т-ме Стюарта находим OD равно 24*sqrt(2)/7
3. Тр-ки AKO и DOM подобны по двум углам, отсюда находим AK=10/sqrt(2)
4. Находим Площадь AKM по известной ф-ле (две стороны и синус угла между ними), получаем 25 кв. ед.

[ДмитрийИвашкевич-ят]

Решение с описанным четырехугольником безусловно наилучшее. Но, если вылетело из головы это свойство, то можно решить с помощью теоремы синусов.
Пусть <MAD=α, тогда cosα=0, 8 ; sinα=0, 6
<BAK=45°-α; <BKA=180°-(45°-α)-45°=90°+α; <AKD=90°-α
sin(<AKD)=cosα=0, 8
Для треугольника AKD применяем теорему синусов:
АК/sin 45°=AD/sin(<AKD)=8/0, 8=10
AK=10/√2
S=0, 5* (1/√2)*10*10/√2=25

[ЛекаКузнец]

Достроила треуг. АКМ до квадрата АКМN. AM=10 его диагональ, тогда сторона квадрата АК=5 корней из2, площадь треуг.АКМ равна его половине. Ответ 25

[abc_]

Без высоты проще.
В прямоугольном треугольнике кавдрат гипотенузы с^2=а^2+в^2.
В нашем случае с^2=2*а^2=100
S=½a*в.
S=½a^2 откуда S=½*½*с^2=¼*с^2=¼*100=25

[МалыхинДмитрий-йл]

Другой вариант: Тр. АВК и АСМ подобны по двум углам. Из этого следует подобие тр. АВС и АКМ -- по двум сторонам и углу. И т.д.

[Alexander--]

Немного пришлось потрудиться в выкладках, но тем не менее...
Направим ось x вправо, ось y вниз, тогда координаты интересующих нас точек таковы:
A(0; 8), M(8; 2), K(x; x)
Координаты векторов:
AM = {8; -6}, AK = {x; x - 8}
Скалярное произведение = 8x - 6(x - 8) = 2x + 48
С другой стороны оно же равно:
10•√(x² + (x - 8)²)•√2/2 =
= 10√(x² - 8x + 32)
Приравниваем, сводим к квадратному уравнению:
3x² - 31x + 28 = 0,
которое имеет два корня: x = 28/3 и x = 1. При желании можно найти смысл первого корня: при нём точка K лежит за пределами квадрата, но нас устраивает только второй корень.
Площадь ищем как полупроизведение сторон на синус угла между ними. И так как sin 45° = cos 45°, то произведение сторон на синус угла равно произведению сторон на косинус угла, т.е. скалярному произведению = 2x + 48 = 2•1 + 48 = 50.
А площадь равна половине его, т.е. 25.

[closer_to_the_unknown]

Треугольник ADM египетский с гипотенузой 10. Угол MAD равен arcsin(6/10) или же arccos(8/10). Теперь найдем синус угла BAK. Для этого из pi/2 вычтем pi/4 (угол KAM) и угол MAD. Тогда sin(BAK) = sin(pi/4 - MAD). Синус этого угла равен sqrt(2)/10, косинус же будет равен sqrt(98)/10. Теперь ищем синус угла AKB. Для этого из pi (сумма углов треугольника BAK) вычтем pi/4 (угол ABK) и угол BAK. Тогда sin(AKB) = sin(pi - pi/4 - BAK). Синус этого угла равен 4/5. Теперь для этого же треугольника используем теорему синусов для нахождения AK. Из этой теоремы следует, что AK = ABsin(ABK)/sin(AKB). подставляя числовые значения, получим, что AK = 5sqrt(2). Теперь по формуле полупроизведения сторон и синуса угла между ними находим искомую площадь, которая равна 25. Ответ: 25

[КонстантинБ-ос]

Так там сразу и понятно, что зелёный треугольник- это повернутый треугольник- половина квадрата, диагональ которого АМ=10.

[ВерцинГеториг-чь]

Проводим СК, обозначаем АН=КН=Х, АК=\/2хХ, АК=СК ( тр-ки АВК = ВСК - ВС=АВ, ВК-общая и углы между ними по 45*) . Угол ДАМ =а, AM=\|8*2+6*2=10, Cosa=8/10=4/5, Sina=6/10=3/5, углы ВАК=ВСК=45*-а, угол КСМ=90*-(45*-а)=45*+а, . Из тр-ка КСМ по теореме косинусов - КМ*2=
, из тр-ка НКМ по теореме Пифагора - КМ*2=КН*2+МН*2 (МН=10-Х), 2Х*2-(4/5)Х+4=Х*2+(10-Х)*2, 2Х*2-(4/5)Х+4=Х*2+100-20Х+Х*2, 20Х-(4/5)Х=96, Х=5, АК=\/2хХ=5\/2 . Из тр-ка АКМ - .

[Dmitriy-A]

Поворот ADM на 90 градусов против часовой стрелки вокруг т.A. Далее соединяя M1 и т.K получаем прямоугольный треугольник M1MA, который в 2 раза больше AKM. Сторону M1A находим из прямоугольного M1AB. M1A=10. Sm1ma=M1A*AM/2=10*10/2=50. Sakm=1/2(Sm1ma)=50/2=25

[papa-yl]

Поворот АВК вокруг А по часовой на 90*, АКМВ1 квадрат с диагональю 10, S= 25.