Сочная теория вероятностей!

Формат ЕГЭ-2022 изменили, но до сих пор многие не видели новые задачи по теории вероятностей. Вот они!

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

1. В ящике девять красных и семь синих фломастеров. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

2. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что потребовалось сделать три броска?

3. Симметричную монету бросают 12 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 4 орла» меньше вероятности события «выпадет ровно 5 орлов»?

ПОПУЛЯРНЫЕ ВОПРОСЫ

— Почему делили вероятности в №2?

— Почему нельзя просто 3 разделить на 8 в №2?
— Потому что выписанные 8 исходов не являются равновозможными. Представьте, что перед вами Дед Мороз с некоторым количеством кубиков в мешке. Он сообщает вам, что кинув их, прежде чем спрятать, получил в сумме 4 очка. Как думаете, что вероятнее: у него один кубик или у него четыре кубика? Получить сумму 4 за четыре броска почти невозможно (1/1296), в то время как получить ее за один бросок вполне реально (1/6). Так что скорее у него один кубик. И вывод из всего этого простой: исходы (4) и (1,1,1,1) неравновозможны. Нельзя просто делить на восемь.

БОНУС

В викторине участвуют 5 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых двух играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет третий раунд?

0:00 — интро
0:15 — Задача 1. Фломастеры
1:44 — Задача 2. Гиперкубики
3:23 — Задача 3. Дюжина монет
4:38 — Слабо решить?

БОЛЬШЕ КРУТЫХ ВИДЕО О МАТЕМАТИКЕ

#математика #ЕГЭ #наука

[WildMathing]

Переделал №2 и загрузил видео еще разочек! На мой взгляд, именно так стоит воспринимать условие. А как считаете вы?
Лайк и комментарий, если хотите больше видео!

[AlexeyEvpalov]

Спасибо за понятный разбор задач по теории вероятности.

[AkkOffer]

Бонус: т.к. у нас 2 выбыли, нам интересны только 3 команды и шанс, что одна из них попадет в тур(шанс 2/3) и выиграет его(1/2), ответ:1/2*2/3=1/3.

Откуда 2/3?
- 2/3 - коэффициет, с которым будут выполнятся следущие вычисления(шанс попасть на турнир, хотя, обычно если команда играла 2 игры подряд, то в третью игру попадают другие, но пофиг).
Считается так: кол-во пар, в состав которых входит нужная нам единица(буква)/всевозможное кол-во пар. 2/3

1/2 - шанс победы команды в случае игры, т.к. есть 6 способов расставить команды:
xyz
xzy
zxy
yxz
zyx
yzx, где в первой паре игр у них 2 поражения, во второй - 1 поражение, 1 победа, в третьей - 2 победы, т.е. 3 победы на 6 игр, шанс 3/6=1/2zxy

[Dsus]

В начале видео я расплакался. Такая грустная музыка.

[arthurfreeman]

То чувство, когда такие же задачи на втором курсе вуза...

Бонус:
Пусть команды имеют силу в 1, 2, 3, 4 и 5. Сила команды А случайная. Тогда, чтобы выиграть 2 игры подряд, ей нужно иметь силу не ниже 3. Рассмотрим варианты дальнейшей игры.
Сила команды 3. Из игры вылетели команды 1 и 2. Тогда у неё никаких шансов против команды с силой 4 или 5. Три исхода в минус, так как перед игрой с командой А более сильные команды могут встретится в одном раунде друг против друга.
Сила команды 4. Из игры вылетели две слабые команды. Тогда возможны три случая: либо команда А встретится с командой с силой 5 и проиграет, либо встретится с командой с силой ниже 4 и победит, либо перед перед игрой с командой А соперники сыграют друг против друга, а затем победитель этой игры, имея силу 5, обыграет команду А в финале. Два исхода в минус, один в плюс.
Сила команды 5. Тут всё ясно: либо сразу обыграет, либо дожидается игры соперников и выиграет в финале. Три исхода в плюс.
Суммируем все варианты.
Ответ: 4/9.

[kosmichka]

Бонус:
Команда команда А не может иметь силу 1 или 2. Если её сила 3, то она может пройти 2 раунда только если её соперниками оказались команды с силами 1 и 2 в любом порядке (¼ • ⅓ • 2), т.е. с вероятностью ⅙. Если её сила 4, то она побеждает команды 1, 2 и 3, значит в первые 2 раунда ей попались 2 из них в любом порядке (¼ • ⅓ • 6), т.е. с вероятностью ½. И наконец, если её сила 5, то она проходит 2 раунда с вероятностью 1.

Нам интересно только соотношение этих вероятностей, они относятся как 1:3:6, разделим 1 в этом соотношении (1, потому что мы точно знаем, что одно из этих событий произошло), получим вероятности с которыми наша команда имеет конкретную силу, учитывая что она уже прошла 2 раунда: 3 с вероятностью 0.1, 4 с вероятностью 0.3 и 5 с вероятностью 0.6.

Если сила 3, то вероятность победить в третьем раунде 0, если 4 - ½, если 5 - 1. Соберём ответ:
0 • 0.1 + ½ • 0.3 + 1 • 0.6 = 0.75 или ¾

[koval-bt]

Как же приятно видеть ролики на этом канале
В преддверии ЕГЭ самое то, большое спасибо Вам, Wild!

[AnotheroneB]

Уитывая что в игре осталось всего 3 команды и их силы не равны, то закономерно предположить что вероятность что команда А победит в 3 игре такова. С вероянстью 1/3 что команда А самая сильная команда вероятность победить 100%, плюс вероятность что команда А сильнее только одной команды 1/3 но в этом случае еще есть вероятность 1/2 проиграть команде сильнее. И того получается 1/3+1/3*1/2=1/2. Вероятность 50%

[nicholas]

3:52 m=2^12, т.к. 2 возможных исхода при каждом броске, а бросков всего 12. Есть какая-нибудь формула для этого?

[ВасяКошкин-фц]

Бесконечно благодарен за выход этого ролика. Сегодня писал входную по математике где попалась похожая задача.

[canniballissimo]

Существует 6 вариантов игры команды А с оставшимися двумя: игра с 1-й или со 2-й командой умноженное на пока не известный рейтинг команды А, где возможны 3 варианта. Из этих 6 у нас в двух случаях А всегда проиграет, если будет третьей по силе, 2, где всегда выиграет, когда будет 1-й по силе, и 1 выиграет и 1 проиграет, если будет второй по силе. Значит вероятность 1/2. Я так считаю.

[Львиныйпрайд-хс]

спасибо к яге не готовлюсь я 7 класс . Но олимпиалной математкой вполне

[demiurgecreator]

О, а разбор актуальных задач по ЕГЭ - это уже полезная в практической жизни тема 👍 Мало ли, кому то захочется высшее образование получить - а тут хоп и подготовка, тема которой подана в понятной и интересной форме.

[Misha-]

Час мучился, но в "бонусе" в ответе и 1/2 выходило, и 3/4, но 5/6 - это выше моих сил😅
Рассуждения:
Пусть в начале игры у нас команды A1 < A2 < A3 < A4 < A5. Очевидно, что если командой A будут команды A1 или A2, то конкуренции они не выдержат, и до третьей игры не дойдут. Значит, с вероятностью 1/3 наша команда A - это либо A3, A4, A5. У A3 шансов в третьей игре выиграть нет, у A4 ровно 1/2, а A5 победит всегда. Вот и выходит, что 1/3 * 0 + 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1 = 1/2. В другом рассуждении без A3, вместо 1/3 везде будет 1/2

[namike]

А какой все-таки ответ на бонусную задачу?) Решений в комментариях куча, а какое верное - неизвестно.

[u_SS_r]

Решение бонуса: будем считать элементарным исходом упорядоченную пару (n, p), где n - переменная, которая определяет, с какой командой встретится А в третьем раунде (если 1, то с более сильной из двух оставшихся, если 2, то с менее сильной), а p - переменная, определяющая силу команды А относительно двух оставшихся (если 1 - А самая сильная, если 2, то одна сильнее, другая слабее, если 3, то обе сильнее). Понятно, что такая пара действительно подходит в качестве элементарного исхода, т.к. таким образом можно определить все различные ситуации, и каждой паре соответствует только одна такая ситуация. Тогда благоприятные исходы: {1, 1}, {2, 1}, {2, 2} (то есть 3 штуки); все различные исходы 2 * 3 = 6. Ответ 3/6 = 1/2

[sgrd]

Не в тему, конечно, но хотел бы узнать, если не сложно ответить. В уравнение: 2^x=3^x, очевидно, всего лишь одно решение в действительных числах: x=0, но вот в чем вопрос: я так понимаю, скорее всего, тут есть комплексные корни, но вопрос в том, как их найти?

[lebaclash]

На самом деле все просто. В любом случае выполняется соотношение: A1<A2<A3<A4<A5 (по усл.). Так как искомая команда выиграла первые два раунда, то это команда A3 или A4, или A5. А3 могла выиграть только A1 и А2, поэтому вер. третьего выигрыша = 0. А4 могла выиграть любые две из A1, A2 или A3, но в любом случае в третьем раунде с равной вер. попадётся либо А5, либо одна из А1, A2 или А3, поэтому вер. = 1/2. А5 выиграет в третьем раунде с вер. = 1. Следовательно, итоговая вер. = (0 + 1/2 + 1) / 3 = 0.5

[АлексейЕрошин-гц]

Если пытаться брать бонус 'в лоб', то у меня получилось 2/3, хотя хотелось бы еще покопать.
Рассуждения следующие. Команда А уже точно лучше 2х команд. Значит, остаются всего 2 команды, которые с некой (равной) вероятностью могут быть сильнее ее. А у третьего противника таких команд не 2, а 4.
Соответственно, шанс на победу 4/(2+4)=2/3

Но, наверное, нужно матрицу с возможными исходами покопать (если вылетевшие команды были 4 и5, то шанс на победу в следующем раунде 1/2 (1 - победа, 3 - поражение, 2- 0.5, средняя 0.5)
Если 3 и 5, то 3/4 (остаются 1, 2 и 4. Если 1, то победа, если 2, то шанс 50 на 50, вариант 4 невозможен, итого выроятность 3/4)
Если 3 и 4, то так же, вероятность= 3/4
Если 2 и 4 или 2 и 3, то 1, т.к. вторая команда уже обыграна.
Тогда при условии равновероятности любого исхода выше получим
1/5*(1/2+3/4+3/4+1+1)=0.8 )

Похоже, что 0.8 истина)) пиликните, если будет правильный ответ