Разбор регионального этапа ВсОШ по математике 23/24. День 2 (9-11 класс)

Присоединяйтесь к нашим курсам:

Наши каналы:
✔️Математика с МО и русский язык с ТА (Основной канал Школково):

Тайм-коды!
00:00 Организационные моменты
02:57 9.6. Квадратный трёхчлен и теорема Виета
08:11 9.7. Анализируем пройденные расстояния
17:40 9.8. Планик: параллельность, медианы и биссектрисы
26:49 9.9 = 11.9. Комбинаторика на треугольной решётке
40:20 Кого берут на закл?
41:13 9.10. Конструктив про цифры
58:32 Про сложность задачек, сколько для прохода на закл?
01:02:15 10.6. Халява на оценку
01:06:03 10.7 Ещё конструктив про цифры
01:12:28 10.8 Раскручиваем планик с конца
01:26:40 10.9 ТЧ. Оценка и делимость
01:46:40 10.10 Граф с рыцарями и лжецами. Оценка + пример
02:01:11 Как размышлять в 10 задачке?
02:02:18 Оцениваем регион 10 класса, прогноз
02:05:27 Стоит ли начинать готовиться ко ВСоШ в 11 классе?
02:07:29 11.6 Очевка про гирьки
02:09:16 11.7 График квадратного трёхчлена. Слив Физтеха - честно считаем
02:20:23 Почему не нужно приводить пример?
02:22:30 11.8 Красивая стереома! Симметрия
02:30:40 Можно ли решить в координатах?
02:32:25 11.10 Гроб тч. Разбираемся в конструкции и доказываем вспомогательные утверждения
03:19:24 Про регион 11 класса, какой проход?

[sciakwtotw]

10.9 можно слегка проще решить.
[Впрочем, как указали в комментариях, решение неполное. Если его дополнить, то от предложенного в видео оно мало чем будет отличаться]

Заметим, что a=b=c=1 подходит.

Далее докажем, что если существует ещё примеры, то только при a, b, c - различных между собой.

Допустим, это не так и пусть какие-то два числа равны.
НУО, это числа b=c.

Случай 1: b=c ≥ 2.
Тогда число b+ca = b+ba = b*(a+1) - составное, что противоречит условию.

Случай 2: b=c=1, а ≥ 2.
В таком случае числа из условия примут вид a+bc=b+ca=c+ab = a+1 ≥ 3
А число (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 +1) примет вид 4*(a^2+1).
Число 4 не может делиться на a+1, т.к. a+1 простое и больше 2.
Может ли а^2+1 делиться на а+1? Рассмотрим число a^2–1 = (a-1)(a+1), которое делится на a+1.
Тогда число а^2+1 = (a^2–1)+2 = (a+1)(a-1)+2 не делится на a+1 ≥ 3.

Суммируя вышесказанное, получаем, что 4*(a^2+1) не делится на a+1, что противоречит условию.


Отныне мы можем рассматривать только тройки a < b < c.
Теперь заметим, что a+bc > b+ac > c+ab . Это можно доказать, разложив на множители разности вида a+bc–(b+ac) и воспользовавшись тем, что a < b < c.

Из этого следует, что все три простых числа из условия различные и теперь мы можем воспользоваться решением общего случая на 1:28:06 .

[anon_commentator]

RMNMLV на 50:30... Пожалуйста, кто-нибудь, можете меня просветить, как за разумное время можно в принципе догадаться до такого решения?

[KrasBadan]

Был на олимпиаде от 11 класса, до этого одимпиады никогда не решал.

Вчера я решил все кроме 5, был собой очень доволен, потом оказалось что 3 из них неправильно.

Во 2 я совершил ошибку под самый конец, я сделал всё правильно, понял что ряд это последовательные числа кроме 1, но забыл что целое*дробь может быть целым, поэтому просто поделил количество чисел на 2, получив 1012. Правильный ответ 2023.

В 3 задаче я не понял что обоим игрокам были доступны оба цвета, и случайно решил более сложную версию задачи, когда Боре приходилось думать, а не просто бесконечно копировать. Ответ получился 66, правильный 50.

В 4 задаче я совсем не внимательно прочитал, подумал что вне зависимости от положения Z лучи шли бы от центра окружности, и доказал равенство нужных площадей в этом случае.

Сегодня решил только первую за несколько минут, потом 4 часа старался впустую. Много сил потратил на 2.

[sewatopik]

люди не знаете куда аппеляцию подавать?