UN TRUC EN PLUS #1A : Galois - Motivations [Re-UPLOAD]

#1 Introduction à la théorie de Galois

Pour le tout premier mini-cours avec ce concept, je vous propose d'aborder la théorie de Galois, du nom de celui qui débuta les travaux dans cette théorie, Evariste Galois. En un total de cinq épisodes, je vais vous introduire quelques notions incontournables de la théorie, et tenter de donner quelques explications précis sur un de ses résultats fondamentaux : le théorème d'Abel-Galois.

---- #1A Motivations

Pour cette épisode, en total improvisation, je vous sensibilise à un des problèmes célèbres dans les mathématiques, posé aux environs du 16ème-17ème siècle : Pouvons-nous résoudre toutes les équations polynômiales sur un corps K ? C'est assez vague... Alors raffinons un peu la question, et demandons nous s'il est possible de résoudre une équation par radicaux ; autrement dit, en exprimant les solutions à l'aide des opérations usuels ainsi que des racines n-ièmes, à partir des coefficients des polynômes qui sont en jeu.

Il est bien connu ce qu'il en est pour les équations affines (degré un). Pour les équations du second degré, cela se corse, mais une méthode existe, et elle permet de prouver qu'en effet, elles sont résolubles par radicaux. Mais une chose est déjà notable : il n'est pas impossible que ces solutions ne soient pas dans le corps K. Cela nous amène à considérer un surcorps contenant K et les solutions de l'équations : c'est une extension de corps. Nous discuterons également ce qu'il en est également des équations de degré 3 et 4.

Le point critique est pour le degré 5 : le théorème d'Abel-Galois nous affirme qu'il y a des équations polynomiales qui ne peuvent pas se résoudre par radicaux; et donc, qu'il n'existe pas de méthode classique similaires aux degrés inférieures, qui permettent de résoudre toutes les équations de degré 5 ou plus. En voilà une réponse surprenante !

Au prochaine épisode, je vais discuter de la notion d'extension de corps, et de ses cousins (corps de décomposition, etc...), et discuter tout d'abord de la finitude de ces extension (avec les nombres algébriques sur un corps K), puis d'un résultat assez fort, appelé "le théorème de l'élément primitif". Je ne vais pas en faire une preuve à proprement parler, mais je vais vous donner l'intuition de la preuve à travers un exemple bien choisi. Ces notions nous permettront, à l'épisode d'après, de vous introduire aux groupes de Galois.

ERRATUM : C’est la méthode de Ferrari, et non celle de Fermât, qui permet de résoudre les équations du 4eme degré !

C'est la toute première vidéo officielle de ce nouveau format de vidéo.
Merci de faire part de vos avis sur cet épisode, cela me sera rudement utile !

Références :

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Pour retrouver l'ensemble du contenu de la chaîne (énoncés des exercices ou des thèmes abordés avec liens) :

[Morkblackmetal]

Superbe vidéo ! Merci pour le partage :)

[lutilisateur]

Merci pour ton travail sur cette chaine. Tout est super ! ( hormis les interros surprise, étant en l3 je ne suis pas fier de ne pas savoir y répondre ahah. )
Question annexe : Où trouves tu tes t-shirts mathématiques ?

[rorororo]

petit lapsus. pour les equations de 4ème degrès il s'agit plutot de la.methode de Ferrari et non de Fermat.

[julienopui]

Tes vidéos sont tous des HITS et je dis ça alors que je me suis spécialisé dans les Équations Différentielles Stochastiques et que je n'aime pas la théorie des groupes/anneaux/corps par contre Mathématicien x Catch normalement l'intersection est vide, t'es le diable ?