O volume de uma esfera de raio r.

O volume de uma esfera de raio r

Demonstro a equação que calcula o volume de uma esfera de raio r. Começo fazendo a transformação do sistema de coordenadas retangulares para o sistema de coordenadas esféricas. Após esse passo, resolvo o determinante da matriz jacobiana de transformação do sistema de coordenadas retangulares para esféricas e finalmente calculo o volume da esfera de raio r. Segue o algoritmo, em latex, para gerar a aplicação da regra de Sarrus:

\begin{tikzpicture}
\matrix [%
matrix of math nodes,
column sep=1em,
row sep=1em
] (sarrus) {%
\sin\phi\cos\theta & -\rho\sin\phi\sin\theta & \rho\cos\phi\cos\theta & \sin\phi\cos\theta & -\rho\sin\phi\sin\theta \\
\sin\phi\sin\theta & \rho\sin\phi\cos\theta & \rho\cos\phi\sin\theta & \sin\phi\sin\theta & \rho\sin\phi\cos\theta \\
\cos\phi & 0 & -\rho\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
};

(sarrus-1-1) edge (sarrus-2-2)
(sarrus-2-2) edge (sarrus-3-3)
(sarrus-1-2) edge (sarrus-2-3)
(sarrus-2-3) edge (sarrus-3-4)
(sarrus-1-3) edge (sarrus-2-4)
(sarrus-2-4) edge (sarrus-3-5)
(sarrus-3-1) edge[dashed] (sarrus-2-2)
(sarrus-2-2) edge[dashed] (sarrus-1-3)
(sarrus-3-2) edge[dashed] (sarrus-2-3)
(sarrus-2-3) edge[dashed] (sarrus-1-4)
(sarrus-3-3) edge[dashed] (sarrus-2-4)
(sarrus-2-4) edge[dashed] (sarrus-1-5);

\end{tikzpicture}

Link do vídeo

[andrebarbosa]

Além desta, veio na minha cabeça mais duas maneiras de mostrar: uma bem sem vergonha e outra mais elegante. A sem vergonha é fatiando a esfera em infinitesimais fatias que podemos aproximar para cilindros, aí a gente somaria todos; a mais elegante é partindo dos estudos de Bola em Espaços Métricos, dentro de um Espaço Euclidiano.

Parabéns pelo excelente trabalho, meu caro!
"Eeeehhh... Feliz Natal! [fim]"