ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА. Yesterdаy! 8 класс.

preview_player
Показать описание
Найти площадь квадрата ABCD, если BM=CK, MP=13, PK=9.
#геометрия_8_класс #подобиеТреугольников #среднееПропорциональное
Комментарии
Автор

Замечательное, красивое, простое решение.

AlexeyEvpalov
Автор

Вот это задачка! КМС-совская трёхходовка! Не уверен, что в своём далёком 9-м классе я бы её решил. Итак, рассмотрим 4-хугольник АМКД. Диагонали равны(из равенства тр-ков МКД=АКД).
Вписанный в него паралеллограм(через середины сторон) явл-ся ромбом(ср.линии также равны),
сл-но МД|_АК(теорема о св-вах диагоналей выпуклого 4-угольника). Пусть АР=х, а РД=у. В тр-ке АКД РД--выота=у. Отсюда система:
13+у=9+х
9/у=у/х
х=16, у=12. АД=20. Sabcd=400

tsaiis
Автор

Спасибо за задачу. Когда её увидел, то подумал, что сейчас я её враз решу.Но пришлось повозиться. Как-то не хотелось решать квадратные уравнения, но без этого, как и у Вас не обошлось. Решал немножко по другому. Провёл параллельные внутри квадрата, ради симметрии. В середине получился такой симпатичный квадратик 4x4, но простого решения не нарисовалось. Ну а дальше почти также как у Вас, подобие, квадратное уравнение и теорема Пифагора на закуску.

voldemarvoldemar
Автор

1) Проекция СК на МР = 4 (что вытекает из 13 - 9)
2) Делаем линии, параллельные РК от CD к MD на дистанции 4 между каждыми двумя линиями.
3) Первая линия от C = 13
Отмечаем точку пересечения как F
Последняя линия  = 1 (минимум)
4) Отрезок PD = 12
5) Из Пифагора KD = 15
6) FP = 4; отсюда FD = 16
8) PD:FD = KD:CD
Отсюда 12:16 = 15:20
9) Отсюда S = 400

igorrromanov
Автор

прекрасная задача. очень понравилась. Несложная, но очень полезная.

sacredabdulla
Автор

Отлично! Тоже решил через подобие по 2 уравнениям, а искал, как всегда, "не самые лёгкие" пути, т.к. всё равно именно так мы устроены, сталкиваясь с более сложными и разными задачами.

По поводу Пола Маккартни и его авторства: вот когда они были в "Билз", то не считались друг с другом настолько, что он даже потерял патенты на ряд песен, за что поплатился много позже - после распада, когда уже Майкл Джексон купил авторские права на те песни, которые написал Маккартни, а тот не мог доказать из-за указанного выше, что они его. Суды не помогли... (Это я ещё к тому, что помимо прав есть ещё обязанности в виде процедур, которые должен пройти автор.)
п.с. У меня по опыту с геодезией принцип: доп. построения не должны выходить за пределы фигуры, а то в геодезии их нередко не сделать даже В пределах, не говоря уже о ВНЕ (недоступность: физическая, если непреодолимо, правовая, если запретная или частная территория).

АляксейЛакамаў
Автор

да, согласен с Валерием! эту задачу хорошо помню - я ее тригонометрией на дрова рубил. У Токарева виртуозный подход... молодец

alexnikola
Автор

Валерий, спасибо за высокую оценку решения предыдущей задачи с квадратом !😊! В этой задаче можно заметить, что отрезок AK переходит в DM при повороте AK на 90° против часовой стрелки вокруг центра квадрата. Что доказывает перпендикулярность и равенство длин отрезков.
Пусть L - эта длина, тогда:
|AP|=L-9; |PD|=L-13.
L можно найти из упомянутого в решении свойства высоты DP прямогольного треугольника AKD (со средним геометрическим):
(L-13)^2=(L-9)•9 с корнями 10 и 25.
Искомая площадь квадрата, квадрат гипотенузы AD, по теореме Пифагора равна:
S=(L-13)^2+(L-9)^2=(L-9)•L.

alexandertokarev
Автор

Если за x обозначить АК=ДМ то решение получается немножко проще. Без у.

АлексейКудияров-жч
Автор

Обозначим зеленую и розовую н и м
Тогда мз подобия нижн и правого

м/9=н/м
м²=9н

При этом отрезки равны

н+9=м+13
м=н-4
м²=н²-8н+16

9н=н²-8н+16
н²-17н+16=0
289-64=225
н=(17-15)/2
н=1 н=16
м=12

х²=16²+12²
х=20
S=400

СвободныйМатематик
Автор

Обозначил KD=MC=х, DPK подобен DCM, х/9=13+у/х из подобия х*х=9*(13+у) из треугольника DPK х*х=9*9+у*у, приравниваем получяем у*у-9у-36=0 у=12 а дальше сплошной Египет и AD=20 . Решение примерно равносильно авторскому,

Welcome-grek
Автор

Высококачественный рестайлинг задачи "Забей". Решал также тупо, как её.
S = S(MCD) + S(AMD) + S(ABM). AP = x, PD = y, AB = a, BM = b. В итоге система:
y =x - 4, x² + y² - xy - 13x = 0. x² - 17x + 16 = 0. x = 16, y = 12, AB = 20, S = 400.
Вы не поверите: угадал ответ на второй минуте (перебрав полдюжины пифагоровых троек).

adept
Автор

В 4 действии брать корень не нужно, так как в задаче требовалось найти квадрат стороны

EWGENE
Автор

Красивая задача. И о кумирах: Джимми Пейдж и Led Zeppelin.

Jenkowski
Автор

Я, конечно, извиняюсь, но предлагаю исправить в заголовке английское слово. Правильно yesterday

PrVlNik