А.А.Разборов. Арифметическая комбинаторика (ЛШСМ-2024)

Арифметическая комбинаторика занимается изучением комбинаторных свойств конечных подмножеств различных алгебраических структур по отношению к имеющимся там операциям. При этом неожиданно оказывается, что самые простые и естественно возникающие вопросы тесно связаны с изначально весьма далёкими областями математики, такими, как, например, гармонический анализ, геометрия чисел или эргодическая теория.

После краткого обзора этой теории мы сконцентрируемся на следующих двух центральных задачах. В обеих за последние несколько лет был достигнут значительный прогресс.

1. Полиномиальная гипотеза Фреймана—Ружи
Пусть A — конечное подмножество абелевой группы, для которого размер суммы Минковского A+A лишь ненамного превосходит размер самого A. Что можно сказать о строении A?
2. Теорема Семереди об арифметических прогрессиях
Насколько большим может быть подмножество {1,2,3,...,N} , не содержащее k-членных арифметических прогрессий?