Halla el área del triángulo equilátero

Queremos calcular el área de un triángulo equilátero conociendo un cuadrado de lado un centímetro que forma parte de dicho triángulo. Problema geométrico de cálculo de áreas muy sugerente en donde hay varios caminos posibles de resolución. En el método empleado aquí se recurren a las razones trigonométricas.
Al final te propongo otro interesante ejercicio de áreas.
#matematicas #matematicasconjuan

[matematicaconjuan]

Por si quieres comprarme un champú🧴💇🏻‍♀

[sanguinj]

A mis 65 años me encanta aun la trigonometría, especialmente cuando se tiene a un instructor como Juan ! Todas las escuelas de secundaria deberían dar como materia y como tareas que se suscriban a tu canal Juan. Eres genial !

[saidinakicruzcisneros]

Profe con sus videos me chingue a mi profe de matemáticas 🤧 gracias por existir está recomendado en toda mi escuela ojalá mi grano de arena lo ayude a seguir creciendo

[Anubis-lsty]

He visto ya como 20 videos y es un excelente maestro. Todo esto es fácil pero hay que tener el don de saber enseñar. Sus alumnos deben estar orgullosos de tenerlo como maestro, van aprender mucho.

[santiagoarosam]

En el problema propuesto al final del vídeo podemos hacer los siguientes trazos auxiliares: los dos radios “R” verticales; el R perpendicular a la hipotenusa en el punto de tangencia que la divide en dos tramos, de los cuales el inferior tiene una longitud igual al cateto horizontal; y por último trazamos la recta que une el centro de la circunferencia y el vértice inferior derecho del triángulo original. Si llamamos “α” al ángulo de éste vértice: tgα=(2+√3)/(3+2√3)=√3/3→ R=(3+2√3)x(2-√3)= √3→ R=√3. Con los datos anteriores y considerando que el R perpendicular a la hipotenusa junto con el R vertical delimita un sector circular de 30º, ya podemos escribir la siguiente expresión que proporciona el valor de la superficie “S” buscada: S=[(3+2√3)x(2+√3)/2] – [(3+2√3)R] – [(30/360)πR²]=(√3/2)-(π/4) → S = (√3/2)-(π/4) ≈ 0.0806 cm²

[antoniodeus]

Hola Juan, soy un profesor de matemáticas ya retirado y me gustan estos vídeos. No sé porqué te resistes a utilizar fórmulas como la de Herón o la del área del triángulo equilátero, supongo que tus motivos tendrás. En este particular ejercicio, una vez hallada la longitud del lado del triángulo (1+1/√3) podemos aplicar la fórmula del área del triángulo equilátero (A=√3/4*s^2).
(1+1/√3)=(3+√3)/3
Elevando al cuadrado:
(9+6√3+3)/9={12+6√3)/9
Multiplicando por √3/4
(√3/4)*(12+6√3)/9
=(12√3+18)/36
=√3/3+1/2
Un saludo

[NikoCarsYClass]

Hola Juan. Excelente ejercicio para aplicar muchos aprendizajes como triángulos equiláteros, triángulos escalenos, razones trigonométricas, despejes, área de un triángulo, fracciones, simplificación. Pero yo te sugiero que hubieras podido simplificar más el proceso aplicando racionalización y también haberlo resuelto como complemento con la definición de razones geométricas para un triángulo de 30-60-90. Un abrazo desde Colombia

[edgarfrancosolorsano-phit]

Muchas gracias Maestro, saludos desde Guatemala.

[ezdaxavi]

Eres una persona muy agradable, dicho sea esto con todo mi respeto

[Boss-]

Hola juan, ¿podrías explicar por que (x⁰) = 1? O más entendible: ¿por que un numero elevado a "0" es igual a 1? Muchas gracias.

[ArieloKun]

Profe Juan me encantan tus videos soy ingeniero y me entretengo resolviendo los problemas porque son similares pero más complejos que los que tuve que hacer para ingresar a la universidad hace ya varios años

[romulogaston]

Bello ejercicio profesore de matematica.

[juliorafaelcastillomoreno]

Buenas tardes y muchas gracias por los videos, llegue al mismo resultado usando álgebra y trigonometría más básica sin usar tangente pero fue mucho más laborioso la ignorancia me costo más tiempo

[davidsmash]

Muchas gracias, habían muchos vídeos pero nadie me hizo entender así de bien

[bastianjofreurra]

Estimado Profesor, muchas gracias por todo su gran contenido que sube. Es muy educativo, interactivo y enriquecedor el ver sus videos para aprender, mejorar y reforzar los contenidos matemáticos. Una consulta estimado: es posible que pueda subir la solución del problema del final del video? Por favor. Es que me está matando la ansiedad de no pider resolverlo. Saludos cordiales desde Cabrero, Chile.

PD: el problema original lo resolví usando el método de las razones trogonométricas (tangente de 60) y por Pitágoras, y dan los mismos valores. Es muy gratificante ver que de varias maneras, todas válidas, llevan al mismo destino o resultado. Lo que es más, me encanta ver varias alternativas y compararlas, creo que es muy retroalimentador para profundizar en los contenidos.

[josepescadero]

*Solución del ejercicio final* : √(3)/2 - π/4 cm2

Primeramente nombramos O el centro de la circunferencia y A, B y C los vértices del triángulo.
Calculamos la hipotenusa AC aplicando el Teorema de Pitágoras en ABC, llegando a que AC = 4 + 2√(3).

Trazamos el radio, r, de la circunferencia, prestando atención a lo siguiente: Por construcción, la recta que define la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC es tangente a dicha circunferencia, sea P el punto único de corte de AC con la circunferencia. De esta forma, si trazamos el radio OP, se forma un triángulo rectángulo, sea APO, semejante a ABC. Tomando de referencia el ángulo AOP, diremos que la longitud del cateto contiguo a dicho ángulo es "r" y la longitud de la hipotenusa será 2 + √(3) - r (por ser "O" el centro de la circunferencia).

De esta forma, relacionando lados homólogos obtenemos:

{3+2√(3)}/{r}={4+2√(3)}/{2 + √(3) - r} (1)

Resolvemos (1) para "r", quedándonos que r = √(3) cm.

De esta forma, aplicamos el Teorema de Pitágoras en APO para calcular la altura de dicho triángulo, sea h:

h = √(2^{2}-{√(3)}^{2}) = 1 cm

Por lo tanto, llamando A_{APO} al área del triángulo APO:

A_{APO} = √(3) · 1 · (1/2) = √(3)/2 cm2

Llegados a este punto, para calcular el área de la región sombreada, solo tendremos que restar al área de APO el área del sector circular determinado por OA y OP. Para ello, necesitamos conocer el radio (lo tenemos) y el ángulo que determinan OA y OP (que no lo tenemos).

Para calcular dicho ángulo, llamémosle α, recordaremos que ABC ~ APO, luego podemos calcular dicho ángulo usando trigonometría elemental: tgα = {2+√(3)}/{3+2√(3)} ⇒ α = arctg ({2+√(3)}/{3+2√(3)}) = 30º

De forma que, llamando A_{Sector Circular} al área del sector circular, obtenemos:

A_{Sector Circular} = 30º/360º · 3 · π = π/4 cm^2

Por último, para conocer el área sombreada, A_{Sombreada}, haremos A_{APO} - A_{Sector Circular}
A_{Sombreada} = √(3)/2 - π/4 cm^2

[FerSantaCruz]

Solucion: area sombreada = (2√3 - π)/4 cm²
el radio del circulo es: √3 cm
desde el centro del circulo hasta el vertice superior del triangulo mide = 2 cm

[clown]

最後の問題の解答
√3/ 2- π/ 4 [cm2]≈ 0.0806[cm2]
補助線を1本引くと簡単に解けました。

[xadriancitox]

Nuevo sub, me encanta tus videos y con esto ahora sabre hacer un triangulo equilatero

[goldenboy]

buena onda el profe, se disfruta las clases. gracias